线性代数证明题

11、试题序号：3212、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵秩的性质8、试题内容：设A为一个n阶方阵，E为同阶单位矩阵且2AE，证明：RAERAEn.9、答案内容：证明:2220()()0,()()()().().()().AEAEAEAERAERAERAEREAnRAEREARAEEAnRAERAEn由矩阵秩的性质则有同时,有(+)+(-)10、评分细则：由题设推出0AEAE得2分;由矩阵秩的性质推出RAERAEn得2分;推出RAERAEn得2分;因而推出RAERAEn得2分.-----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3222、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交矩阵的特征值8、试题内容：设A为一个n阶正交矩阵，且1A.证明：1是A的特征值.9、答案内容：证明：2,.1,(1)()()0(1)0.1.TTTTTTTTAAAEAAEAEAAAEAAEAAEAEAEAEAAEAEA是正交矩阵又是的特征值10、评分细则：推出1TAEAAA(2分)TEA(2分)EA(2分)推出10AE并说明1是A的特征值(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3232、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：二次型的正定性8、试题内容：已知,AB均为n阶正定矩阵，试证明：分块矩阵00AB也为正定矩阵.9、答案内容：312112212,00.000000000.00TTTTTABABAABBABXAAfXXXBBXXXfAXBXABTT12TT12证明是正定矩阵，，是对称矩阵.A00B是对称矩阵.令=,此为所确定的二次型.0,X中至少有一个不为0,则有=X+X此二次型为正定二次型，则为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出00AB是对称矩阵(2分);令112200TTXAfXXXB(2分);由120TTXX推出12,XX中至少有一个不为零(2分).则有11220TTfXAXXBX,推出f1122TTXAXXBX为正定二次型(2分).因而有00AB为正定矩阵(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3242、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第五章相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：二次型的正定性8、试题内容：设,AB均为n阶正定矩阵，试证明：AB也为正定矩阵.9、答案内容：证明：4,.()().0,.,,.0.()TTTTTTTTTTTTTABAABBABABABABfxABxxfxAxxBxABxAxxBxfxAxxBxfxABx都是正定矩阵,=,=为对称矩阵.令则有是正定矩阵是正定二次型则有为正定二次型.则A+B也为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出AB为对称矩阵(2分);令TfxABx(2分);00TTxfxAxxBx(2分);推出TfxABx为正定二次型(2分);因而有AB为正定矩阵(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3252、题型：证明题3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：向量组的线性关系8、试题内容：若向量可由向量组12,,,r线性表示，但不能由121,,,r线性表示，试证：r可由121,,,,r线性表示.9、答案内容：证明：2.0,.1.,.rrrrrrrrr１２１２r１１２２r１１２２r-１１１２１１２r-１r１１rrrr１２１可以由，，线性表示，存在一组数Ｋ，Ｋ，Ｋ,使得Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ＝若Ｋ则Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ这与不能由，，线性表示矛盾.ＫＫＫＫ０ＫＫＫＫ可由，，线性表示10、评分细则：由题设中条件令1122rrkkk(2分);假设0rk推出不能5由121,,,r线性表示矛盾(2分);0rrk可以由121,,,r,线性表示(4分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3262、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩8、试题内容：如果向量组12,,,s线性无关，试证：向量组11212,,,s线性无关.9、答案内容：证明：,..111011.001111011.001BRRAS12S11212S12S12S11212S12S令A=,,线性无关，令C=则有B=AC，显然C可逆.10、评分细则：令12sA,11212sB(1分);由题设条件推出RAs(1分);令1111011001C推出BAC(2分);推出1ABCRBRAs(2分)又1121,,sRBsRBs线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3272、题型：证明题63、难度级别：34、知识点：第二章矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：奇异矩阵8、试题内容：已知矩阵22,AEBE，且0AB证明：AB为奇异矩阵.9、答案内容：证明：22221,1.01,1.().()..0,AEABEBABABAABABABBAAABBBAAABBABABAB又若则而则为奇异矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出1,1AB(1分);推出AABBBA(3分);推出AABBBA(2分);推出0ABAB为奇异矩阵(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3282、题型：证明题3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩8、试题内容：设n维基本单位向量组12,,,n可由n维向量组12,,,n线性表示，证明：12,,,n线性无关.9、答案内容：证明：121,.,,,,..,,,naBABRRnRAnRAn12nnn2n12nn12n令A=且E,,可以由线性表示.存在一个n阶方阵使得EAE同时线性无关.10、评分细则：令1212,nnAE(2分);由题设条件推出7存在一个n阶矩阵B(2分);使得ABERAn(4分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3292、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩8、试题内容：设12,,,m线性无关，1可由12,,,m线性表示，2不可由12,,,m线性表示，证明：1212,,,,m线性无关（其中为常数）.9、答案内容：证明:11122mmkkk，1212122mm.假设122MRm,则有122,,,,m线性相关,因而与2不能由12,,,m线性表示矛盾.122mRm,12121mRm1212,,,,m线性无关.10、评分细则：由题设中条件推出1212122mm(2分);假设122mRm由题设推出2能由12,,m线性表示,与题设矛盾(2分);122mRm推出12121mRm(3分);推出1212,,,m线性无关(1分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3302、题型：证明题3、难度级别：24、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组与矩阵的秩8、试题内容：设A为nm矩阵，B为mn矩阵，nm,若ABE，证明B的列向量组线性无关.89、答案内容：证明:A为nm矩阵,B为mn矩阵,且ABE,E为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有RBREn.又,.nmRBnRBnB的列向量组线性无关.10、评分细则：由题设推出RBREn(2分);又有题设中nmRBn(2分);RBn(2分);所以B的列向量组线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3312、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第四章向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩8、试题内容：设121,,,n为1n个线性无关的n维列向量，12,与121,,,n均正交，证明：12,线性相关.9、答案内容：证明:12,分别与121,,,n均正交,1121200TnT令121nA,12TTB,011BARAnRB12,线性相关.10、评分细则：令12112,TnAB(1分);由题设中条件推得0BARARBn(2分);11RAnRB(1分);若12