线性变换的矩阵

1©2009,HenanPolytechnicUniversity1§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换一、线性变换与基二、线性变换与矩阵三、相似矩阵2©2009,HenanPolytechnicUniversity2§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换为V的线性变换，若()(),1,2,,.iiin则.命题1设是线性空间V的一组基，,n12,,,即：一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.一、线性变换与基命题2设是线性空间V的一组基，对V中n12,,,12,,,,n都存在线性变换使任意n个向量(),1,2,,iiin即：任意给定基的像都决定一个线性变换.3©2009,HenanPolytechnicUniversity3§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换由命题1和命题2即得定理1设为线性空间V的一组基，12,,,n对V中任意n个向量存在唯一的线性12,,,,n1,2,,.，iiin变换使,4©2009,HenanPolytechnicUniversity4§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换设为数域P上线性空间V的一组基，12,,,n为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设用矩阵表示即为111212112122221122()()()nnnnnnnnnn12二、线性变换与矩阵1．线性变换的矩阵12,,,n1212,,,,,,nnA5©2009,HenanPolytechnicUniversity5§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换其中111212122212nnnnnnA②单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵.①A的第i列是在基下的坐标，12,,,n()i矩阵A称为线性变换在基下的矩阵.12,,,n注：它是唯一的.故在取定一组基下的矩阵是唯一的.6©2009,HenanPolytechnicUniversity6§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换例1.设线性空间的线性变换为3P1231212(,,)(,,)xxxxxxx求在标准基下的矩阵.123,,解：3()(0,0,1)(0,0,0)113()(1,0,0)(1,0,1)223()(0,1,0)(0,1,1)123123100(,,)(,,)010110100010110则在标准基下的矩阵为123,,7©2009,HenanPolytechnicUniversity7§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换例2.设为n维线性空间V的子空12,,,()mmn间W的一组基，把它扩充为V的一组基：12,,,.n并定义线性变换：1,2,,01,,iiiimimn121211,,,,,,00nn则m行称这样的变换为对子空间W的一个投影.8©2009,HenanPolytechnicUniversity8§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换2．线性变换的运算与矩阵的运算定理2设为数域P上线性空间V的一组12,,,n的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与中nnP①线性变换的和对应于矩阵的和；②线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；③线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；④可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.9©2009,HenanPolytechnicUniversity9§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换证：设为两个线性变换，它们在基,12,,,n下的矩阵分别为A、B，即1212,,,,,,nnA1212,,,,,,nnB①12,,,n1212,,,,,,nn1212,,,nnAB12,,,nAB∴在基下的矩阵为A＋B.+12,,,n10©2009,HenanPolytechnicUniversity10§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换②1212,,,,,,nn12,,,nB12,,,nB12,,,nAB∴在基下的矩阵为AB.12,,,n③121,,,,,nnkkk1,,nkk1,,nk12,,,nk12,,,nkA12,,,nkA∴在基下的矩阵为k12,,,n.kA11©2009,HenanPolytechnicUniversity11§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换④由于单位变换(恒等变换)对应于单位矩阵E.E相对应.因此，可逆线性变换与可逆矩阵A对应，且E所以，与AB＝BA＝E逆变换对应于逆矩阵-1.A-112©2009,HenanPolytechnicUniversity12§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换定理3：2();dim().nnLVPLVn设为V的一组基12,,,n:(),nnLVP对任意，定义：()LV(),A这里A为在基下的矩阵.12,,,n则就是到的一个同构映射.()nnLVP证明：13©2009,HenanPolytechnicUniversity13§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象定理4设线性变换在基下的矩阵为A,12,,,n在基下的坐标为12,,,nV12(,,,),nxxx()在基下的坐标为12,,,n12(,,,),nyyy则有1122nnyxyxAyx＝.14©2009,HenanPolytechnicUniversity14§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵矩阵是X，则1.BXAX12,,,n(Ⅱ)12,,n,(Ⅰ)定理5设线性空间V的线性变换在两组基15©2009,HenanPolytechnicUniversity15§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换三、相似矩阵1．定义设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆矩阵使得,nnXPBXAX-1则称矩阵A相似于B，记为AB.16©2009,HenanPolytechnicUniversity16§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：①反身性：.AA②对称性：.ABBA2．基本性质③传递性：,.ABBCAC17©2009,HenanPolytechnicUniversity17§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换定理6线性变换在不同基下的矩阵是相似的；同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作18©2009,HenanPolytechnicUniversity18§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换（3）相似矩阵的运算性质若1,BXAX()[],fxPx若1()().fBXfAX则1.mmBXAX则19©2009,HenanPolytechnicUniversity19§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换例2.设为线性空间V一组基，线性变换在12,这组基下的矩阵为21,10A为V的另一组基，且12,121211,)(,),12(（1）求在下的矩阵B.12,（2）求.kA20©2009,HenanPolytechnicUniversity20§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换1112111121012B解：（1）由定理4，在基下的矩阵12,21211111.11101201（2）由有1,BXAX=1,AXBX=于是1.kkAXBX=1111111120112kkA=111211.1201111kkkkk=21©2009,HenanPolytechnicUniversity21§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换123()(5,0,3)()(0,1,6),()(5,1,9)例3.在线性空间中，线性变换定义如下：3P123(1,0,2),(0,1,1)(3,1,0)其中（1）求在标准基下的矩阵.123,,（2）求在下的矩阵.123,,22©2009,HenanPolytechnicUniversity22§2全排列及其逆序数第一章行列式©2009,HenanPolytechnicUniversity§3线性变换的矩阵第七章线性变换123123123103(,,)(,,)011(,,),210X解：（1）由已知，有123123505(,,)(,,)