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专题一函数与导数专题四立体几何45135.123xyOxyOxOyx空间几何体的视图、表面积与体积的主要知识点有：三视图，直观图，球、锥体、柱体、台体的表面积与体积等．三视图画法的规则：长对正、宽相等、高平齐．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的规则：在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时．．，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使或已知图形中平行于轴的线段，在直观图中．仍然平行于xyy轴，且其长度不变；平行于轴的线段，在直观图中仍然平行于轴，且其长度变为原来的一半．4．旋转体的侧面积是指其侧面展开图的面积，因此，要弄清侧面展开图的形状．对于多面体的表面积，只需具体研究各面的性质，进而分别计算．5．计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据已知条件找出相应的底面面积和高；对于简单组合体的体积要通过“割”与“补”化归为简单几何体体积的问题；对于三棱锥，以其任意一个面作为底面，都可以表示其体积．6．关于球的问题要注意球的半径、截面圆半径、球心到截面圆的距离构成的直角三角形．1()ABCD利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是 ．①②．①．③④一、三视图的视辨．例1①②③④44()AB2CD已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择个顶点，它们可能是如下各种几何图形的个顶点，这些几何图形是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体． ．①③④⑤．②③④⑤．④⑤．③④⑤1A. A.2x因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，则①②正确；对于③④，只有平行于轴的线段长度不变，所以不正确．由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体．由下图可知，①可能，②不可能，③④⑤都有可能故选选．故解析：13()A.4B.3C.5D.6已知某几何体的三视图如图，若图中圆半径为，等腰三角形腰为，则该几何体表面积为 二、空间几何体的表面积、体 积例22131(2)C23252rlSrlr几何体为一个圆锥和一个半球的组合体解，且，：，，析故选11//.2—(201)—21ABCDQAABCDPDQAQAABPDPQDCQQABCDPDCQ如图，四边形为正方形，平面，，证明：平面；求棱锥的例3的体积与棱锥的体辽宁积的比值．..21.2PDAQQAABCDPDAQABCDADABCDDCADDCPPQDAQPQDCPDAQDQPQPDDPQQCQD证明：由条件知四边形为直角梯形，因为平面，所以平面平面，交线为又四边形为正方形，，所以平面所以，可得在直角梯形平面中可得，则，证明:31232.—1—.31?2221—.3——1.2ABaAQQABCDQABCDVaPQPDCQPQaDCQQABCDPDCQaPDCQVa设由题设知为棱锥的高，所以棱锥的体积由知为棱锥的高，而，的面积为，所以棱锥的体积故棱锥的体积与棱锥的体积的比值为为416()A.16B.20C.24(1)(2)3__________D.32OABCDDAABCABBCDAABBCO已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为，体积为，则这个球的表面积是 如图，已知球的面上四点、、、，平面，，，则球的体积等于三、球的表面积4与体积例．2222222223 16442.2,422424424..C233122943.2lRlRRlSRABCDORCDABBCADRVR球球因为体积为，高为，所以正四棱柱的底面面积为，边长为设正四棱柱的体对角线长为，球的半径为，由，所以满足题意的、、、恰好为如图正方体中的四个顶点，球心点为该正方体的中心，，所以，故选解析：.12()().123PEFGHABCDEFGHBDPEG某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示．墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体图、图分别是该标识墩的正主视图和俯视图．请画出该安全标识墩的侧左视图；求该安全标识墩的体积；证明：直线平面备选题 1侧视图同正视图，如解析：下图所示．2321406040203200032000364000m2cPEFGHABCDEFGHVVV该安全标识墩的体积为．....//3HFEGHFOPOPOEFGHPOHFEGHFHFPEGBDHFBDPEG证明：如图，连接，设与相交于，连接由正四棱锥的性质可知，平面，所以又，所以平面因为所以平面，利用判定定理证明直线和平面垂直时，应注意条件“两相交【点评】直线”．1．与三视图有关的问题，关键是将三视图还原成直观图．解题时要注意还原时点、线、面之间的关系，最好在还原后检查直观图的三视图与题中的三视图是否吻合．2．求空间几何体的体积与表面积时，如果是组合体，关键是将组合体合理地分解成几个简单空间几何体；而对于锥、柱、台的体积与表面积，主要是计算底面积与高(斜高)．3．与球有关的问题一般分为两类：一类是与球的截面有关，这个时候要充分运用由球的半径、截面圆的半径、球心到截面圆的距离构成的直角三角形；另一类是多面体的内接球与外切球，此类问题的关键是弄清球的半径与多面体之间的关系．