材料力学第6章-应力状态与强度理论1

1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。挠度用y表示。与y轴同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。转角用表示，逆时针转向为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。挠曲线方程为：y=y(x)三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量dtgdyyx小变形FxyCC1y上节回顾挠曲线近似微分方程()()MxyxEI()()EIyxMx1()(())dEIyxMxxC12()((())d)dEIyxMxxxCxC积分法求梁的变形：对挠曲线近似微分方程积分二次，应用位移边界条件、连续光滑条件求积分常数。FxyCC1y上节回顾按叠加原理求梁的挠度与转角(叠加法)叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。121122(,,)()()()nnnFFFFFF121122(,,)()()()nnnyFFFyFyFyF适用条件：线弹性、小变形上节回顾maxyyLLmax梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[y/L]称为许用挠跨比。三种刚度计算问题：刚度校核、刚度设计、许可载荷梁的合理刚度设计上节回顾选择合理截面、改善内力分配、合理选择材料简单超静定梁的求解（1）确定梁的超静定次数根据待求未知力数目与独立平衡方程数目之差确定。(2)解除多余约束，并以相应的反力代替其作用，得静定基。(3)计算静定基在解除约束处的挠度或转角，并根据所解除约束的变形协调关系和物理关系得到补充方程。(4)联立平衡方程和补充方程，求出未知反力。(5)未知反力求出后，可通过静定基计算原超静定梁的内力，应力与位移。上节回顾第六章应力状态与强度理论低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁应力状态/应力状态的概念及其描述铸铁低碳钢为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？应力状态/应力状态的概念及其描述重要结论不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。应力状态/应力状态的概念及其描述轴向拉压同一横截面上各点应力相等：AFFF同一点在斜截面上时：2cos2sin2应力状态/应力状态的概念及其描述此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力状态/应力状态的概念及其描述横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。NFzMSF应力状态/应力状态的概念及其描述平面弯曲过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明应力状态/应力状态的概念及其描述1、应力的面的概念应力的三个重要的概念2、应力的点的概念3、应力状态的概念应力状态/应力状态的概念及其描述•单元体(微元)（Element）dxdydz,,0一点应力状态的描述应力状态/应力状态的概念及其描述dxdydz单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是六面体。xyzxzyxy可以认为：1、各个面上的应力都是均布的；2、单元体每一对相互平行的两个面上应力大小相等，方向相反。若单元体各个面上的应力已知，由平衡条件即可确定任意方向面上的正应力和切应力。应力状态/应力状态的概念及其描述xyzxzyxy应力状态/应力状态的概念及其描述zx例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAAxxMPxyzBCxxBxzCxyyx应力状态/应力状态的概念及其描述主单元体、主面、主应力：主单元体(Principalbidy)：各侧面上切应力均为零的单元体。主平面(PrincipalPlane)：切应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321123xyzxyz应力状态/应力状态的概念及其描述单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：只有一个主应力不为零的应力状态。二向(平面)应力状态（PlaneStateofStress）：只有一个主应力为零的应力状态。三向(空间)应力状态(Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。AxxzxxxBxz123三向（空间）应力状态yxzxyzxyyxyzzyzxxz(Three-DimensionalStateofStresses)应力状态/应力状态的概念及其描述x垂直于x轴的截面上的正应力yx垂直于x轴的截面上的切应力，其方向平行于y轴(PlaneStateofStresses)平面（二向）应力状态xyxyyxxy应力状态/应力状态的概念及其描述xyxy单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态(ShearingStateofStresses)xyxxy应力状态/应力状态的概念及其描述三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例应力状态/应力状态的概念及其描述FF示例一S面111AF应力状态/应力状态的概念及其描述190FFS面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.应力状态/应力状态的概念及其描述示例二：FPl/2l/2S面应力状态/应力状态的概念及其描述54321543211S面S2PFF4lFMPzzzxWM122x2233应力状态/应力状态的概念及其描述示例三FPlaS应力状态/应力状态的概念及其描述xzy4321S面应力状态/应力状态的概念及其描述yxzMzFsyT43211pxWM1zzxWM143pxWM3pxWM4zzxWM4syF由产生的切应力忽略。应力状态/应力状态的概念及其描述二、平面应力状态分析xyxyyxxy求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力。ef应力状态/平面应力状态分析xxxx拉为正压为负1、正应力正负号规则应力状态/平面应力状态分析使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。yxxy切应力正负号规则应力状态/平面应力状态分析由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。ntyx角正负号规则应力状态/平面应力状态分析•平衡对象——用ef斜截面截取的微元局部2、利用截面法及微元局部的平衡方程dAn´t´ef应力状态/平面应力状态分析xyxyyxxyefxyyxxy参加平衡的量——应力乘以其作用的面积平衡方程——0nF0tF及dA·cosdA·sin应力状态/平面应力状态分析dAn´t´efxyyxxycos)cos(dAxydA(sin)sin0dAdA(cos)sinxydA(sin)cosyx0nF应力状态/平面应力状态分析dA·cosdA·sindAn´t´efxyyxxydAxdA(cos)sinxydA(cos)cosydA(sin)cosyxdA(sin)sin00tF应力状态/平面应力状态分析dA·cosdA·sindAn´t´efxyyxxy解得：2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx用斜截面截取，此截面上的应力为22sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx应力状态/平面应力状态分析xyyxxy因此yx即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。即又一次证明了切应力的互等定理。应力状态/平面应力状态分析yyxxyxxyx-y坐标系yxy'xyx'x'x'－y'坐标系y'y''x''ypxpxp-yp坐标系★同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：应力状态/平面应力状态分析三、应力圆（Mohr’sCircleforStresses）1、应力圆方程将前面所得的关于和´的方程写成2sin2cos2)2(xyyxyx2cos2sin2xyyx应力状态/应力圆2222()()22xyxyxyRcxyyx22)2(2yx应力圆（Mohr圆）应力状态/应力圆在-坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力对应的点a和d连ad交轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。yyxxyADa(x,xy)d(y,yx)cRxy22.应力圆的画法xyyx22)2(应力状态/应力圆x点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力3、几种对应关系yyxxyxcaA),(aa应力状态/应力圆yx转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；ntCaAa'2二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。应力状态/应力圆xxADodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBE4、基本变形的应力状态单向拉伸应力状态/应力圆单向拉伸x'y'BExxx'x'y'y'x'y'BE应力状态/应力圆可见：45º方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。应力状态/应力圆oa(0,)d(0,-)ADbec2×45º2×45ºy'＝x'＝BE纯剪切应力状态/应力圆x'＝y'＝BEBE纯剪切应力状态/应力圆结果表明：45º方向面只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。应力状态/应力圆四、平面应力状态的极值与主应力（一）主平面、主应力与主方向xyxyyxoc2padAD主平面（PrincipalPlane）：=0,与应力圆上和横轴交点对应的面应力状态/应力圆oo主应力（PrincipalStresses）：主平面上的正应力应力状态/应力圆xyxyyxAD主应力的确定oc2pad1A1B1oA10cAc2yxxyyx22)2(1oB10cBc2yxxyyx22)2(应力状态/应力圆主应力表达式应力状态/应力圆主应力排序：123oc2pad12o13o23应力状态/应力圆xyxyyxADoc2pad1211p22(x,xy)主方向的确定22yxxxyptg负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向应力状态/应力圆对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”。omaxc（二）面内最大切应力应力状态/应力圆例1：一点处的平面应力状态如图所示。已知,30,60MPax.30MPaxy试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。40MPa30MPa60应力状态/应力圆,40MPay解：40MPa30MPa60（1）斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.9)60cos(30)6