材料力学第6章-应力状态与强度理论3

第六章应力状态与强度理论材料力学应力状态与强度理论一、应力状态的概念及其描述二、平面应力状态三、应力圆四、平面应力的极值与主应力五、三向应力状态的概念六、广义胡克定律应变能密度七、平面应变状态的应变分析八、复杂应力状态的强度理论五、三向应力状态的概念三向应力状态——三个主应力均不为零的应力状态应力状态/三向应力状态的概念s1s2s3上节回顾IIIIIIs1s2s3ts在s-t平面内，代表任意斜截面的应力的点或位于应力圆上，或位于三个应力圆所构成的区域内。应力状态/三向应力状态的概念三向应力状态的应力圆1maxss3minss231maxsst上节回顾sxsysztxytyxtyztzytzxtxzzyxxEsss1zxyyEsss1xyzzEsss1111xyxyzyzyxzxzGGGtttyxz应力状态/广义胡克定律六、广义胡克定律12EG上节回顾单位体积变形：321001VVV（体积应变）利用广义胡克定律：321)(21321sssE3)()21(3321sssEkms式中：)21(3Ek（体积弹性模量）3321ssssm（平均主应力）（体积变形胡克定律）应力状态/广义胡克定律，应变能密度上节回顾★讨论：1、单位体积变形只与三个主应力之和有关，与主应力的大小比例无关。3212、因为，因此与取轴方向无关，且三个相互垂直面上的正应变之和不变。例如纯剪应力状态：tttt45ｏ0,231stss0kms5.03、若或，则，即体积不变。但因此仅当时，0ms,5.0.00321sss.0应力状态/广义胡克定律，应变能密度3(12)mEs★结论：纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积改变与切应力t无关，但形状有改变，即形状改变与切应力有关。应力状态/广义胡克定律，应变能密度例3：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩M，可沿轴向及与轴向成45°方向测出线应变。现测得轴向应变，45°方向的应变为。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。试求F和M的值。6010500640010FMMFkuu45°应力状态/广义胡克定律解：（1）K点处的应力状态分析在K点取出单元体：xsKxytyxt其横截面上的应力分量为：,AFAFNxs（2）计算外力F.由广义胡克定律：zyxxEsss16010500sxxE应力状态/广义胡克定律3pp16DMWMWTxyt解得：AFxsAE0626910)100(41050010200kN785（3）计算外力偶M.已知1zEsss610400式中,0zs00cos2(45)sin2(45)22xxxyssstxyxts200cos2(45)sin2(45)22xxxyssstxyxts2xsKxytyxtssss应力状态/广义胡克定律由614001022xxxyxyEsstt解得：26m/N106.34xyt3p6.79kNm16xyxyMWDtt因此应力状态/广义胡克定律1zEsss610400◆应用实例承受内压薄壁容器任意点的应力状态plxsts应力状态/广义胡克定律ＤtpπD２4tDxspxsxs0xF24xDDtps4xpDts应力状态/广义胡克定律ｐ2ttlststsp×D×l0yF2ttlpDls2tpDtsxsts承受内压薄壁容器任意点的应力状态:应力状态/广义胡克定律应力状态/广义胡克定律例为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片测得容器表面环向应变t=350×l06；容器平均直径D=500mm，壁厚t=10mm，E=210GPa，=0.25试求容器内压力p。plxsts应力状态/广义胡克定律xsts承受内压薄壁容器任意点的应力状态:解：124ttxpDEEtss964(2)4210100.01350103.36MPa0.5(20.25)tEtpD4xpDts2tpDts由广义胡克定律得应变能：因变形而储存在弹性体中的能量dydxdzxzyd~dd11syzxd~dd22szxyd~dd33s2s1s3s应变能密度1、微元应变能(StrainEnergy)力----变形应力状态/应变能密度功能原理：微元应变能=微元外力功dU=dW=OLFzydd1sxd1微元应变能微元外力功xzyddd2111syzxddd2122szyxddd2133szyxddd21332211sss应力状态/应变能密度xzyd~dd11s力----变形dydxdz2s1s3s2、应变能密度(Strain-EnergyDensity)1122331dddd2ddddxyzUuVxyzsss33221121sss应力状态/应变能密度3、体积改变能密度与形状改变能密度(畸变能密度)32131ssssm令+2s1s3smss3mss2mss1msmsmsdvuuudu：形状改变能密度(畸变能密度)：体积改变能密度vu应力状态/应变能密度体积改能密度v13()2mmus)]([1213mmmmEssss2123126Esss]31[321ssssmmsmsms应力状态/应变能密度222d12233116uEssssssdvuuu33221121sss2123126Esss形状改变能密度(畸变能密度)mss3mss2mss1应力状态/应变能密度例用应变能法证明三个弹性常数间的关系211222uGGtttt（1）纯剪单元体的应变能密度为（2）纯剪单元体应变能密度用主应力表示为312321232221221sssssssssEutttt)(002)(02122E21tE21EGtAs1s321EG1230stsst应力状态/应变能密度七、平面应变状态的应变分析1.一点的应变状态：构件内一点在各个不同方位的应变情况。正应变：变形后单元体棱边长度的变化。切应变：变形后单元体各平面之间角度的变化。应力状态/应变分析平面应变状态：当构件内某一点处的所有应变均发生在同一平面内时。一点o的应变状态的表示：oxydxdydxxdyyxy符号规定：:相对伸长为正，缩短为负；:使xoy直角增大为正。应力状态/应变分析oxydxdyxyABCDE已知：o点的应变分量分别为。现求：与x轴成角的线段oB的正应变，以及处于该方位的直角BOD的切应变。xyyx,,解：利用叠加法。应力状态/应变分析1B1、求dxxodxdyCBA1F仅考虑x方向线变形的作用oBoBllOBBF1(d)cosd/cosxxx2cosxdyyodxdyCBA2B2F仅考虑y方向线变形的作用oBoBllOBBF2(d)sind/sinyyy2siny应力状态/应变分析odxdyABCdxyy3B3F仅考虑角变形的作用oBoBllOBFB33(d)cosd/sinxyyycossinxy因此2cosx2sinycossinxy或2sin22cos22xyyxyx应力状态/应变分析odxdyABCDE2、求：代表直角BOD的改变量。变形时，若OB转过角度为，90则OD转过角度为，90所以直角BOD的改变量为：利用叠加法：1BdxxodxdyCBA应力状态/应变分析(d)sind/cosxxx1BdxxodxdyCBA1FOBFB11OBFB22dyyodxdyCBA2B2FodxdyABCdxyy3B3FOBBF3(d)cosd/sinyyy(d)sind/sinxyyy应力状态/应变分析2sincossin)(xyxy而290coscossin)(xyxy90因此2cos2sin)(xyxy或2cos22sin22xyyx应力状态/应变分析应变圆2cos22sin22xyyx2sin22cos22xyyxyx将以下方程消去，得到：圆方程：2222)2()2()02()2(xyyxyx圆心),0,2(yx半径22)2()2(xyyx应力状态/应变分析与应力圆相比：.2,ts2Rc2yx应变圆22)2()2(xyyx2)2,(E)2,(xyxD)2,(xyyF应力状态/应变分析CAOCAmax22)2()2(2xyyxyxCBOCBmin22)2()2(2xyyxyxR2max22)2()2(xyyx2Rc2yx)2,(xyxD02ABoG0tan2DGCG2/)(2/yxxyyxxy应力状态/应变分析在最大与最小正应变的方位上，相应的切应变为零，切应变为零方位上的相应正应变称为主应变。3min1max,并且此两主应变位于相互垂直的方位。应力状态/应变分析一般用三个方向上的应变测量来求得应力值，如：*应变片电测法测量主应力60°60°60°或：xy45°45°45°应变花：应力状态/应变分析xyyyxxEEss2211对下图所示平面应力状态，对45°应变花，在x、y方向有：sytxysx并且：利用斜截面应力的计算式可得：xyyxtsss2145xyyxtsss21135应力状态/应变分析13545451ssE451351351ssE由此可得：4521tyxxyE21135yxxyEt或由此可见，通过上述三个方向线应变的测量即可求出该点的应力状态。应力状态/应变分析例：构件表面某点O，实验测得该点沿0°与45°的正应变分别为0°=450×10-6、45°=350×10-6，沿90°方位的正应变90°=100×10-6，已知E=200GPa，=0.3，试求该点处的主应力。解：显然，有：6010450x69010100y64510350由此可得：MPa5.10512yxxEs应力状态/应变分析MPa6.5112xyyEsMPa3.422145tyxxyE进而可得：MPa8.12822221xyyxyxtsssssMPa4.2822