材料力学第9章-压杆稳定3+第8章-能量法1

第九章压杆稳定9.1引言9.2细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷9.3中、小柔度压杆的临界应力9.4压杆的稳定条件9.5压杆的合理设计9.6用能量法求压杆的临界载荷材料力学各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形状临界载荷Fcr的欧拉公式长度系数=10.7=0.5=29.2细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷crspcrscrab2cr2EspABCD临界应力总图中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：2cr11CBab段：9.3中、小柔度压杆的临界应力细长杆中长杆短粗杆crststFFFncrstFnnF9.4压杆的稳定条件一、稳定条件或stF为稳定许用压力;n为工作安全系数;对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度。stn规定的稳定安全系数，一般高于强度安全系数。9.4压杆的稳定条件二、折减系数法st其中：为许用压应力。为折减系数，位于0和1之间。折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)。根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：稳定计算的三类问题1.稳定校核2.选择截面3.确定许用载荷9.4压杆的稳定条件压杆稳定性计算步骤a、计算、与:b、由压杆类型算，大柔度杆，，中柔度杆，根据有关经验公式计算。c、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：d、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算来实现。9.5压杆的合理设计影响压杆稳定性的因素有截面形状，压杆长度，约束条件及材料性质等。要提高压杆稳定性，也要从这几方面着手。一、合理选择材料细长压杆临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以选用高强度钢或低碳钢并无差别。中柔度杆临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以提高压杆的稳定性。il22crE9.5压杆的合理设计二、合理选择截面柔度越小，临界应力越大。IAlil在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。如空心杆等。同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度大致相等。如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的不同，则应该选择的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：yyzzililzyII22crE•增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）9.5压杆的合理设计三、改变压杆的约束条件9.5压杆的合理设计细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座，都可以有效的提高压杆的稳定性。第九章压杆稳定9.1引言9.2细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷9.3中、小柔度压杆的临界应力9.4压杆的稳定条件9.5压杆的合理设计9.6用能量法求压杆的临界载荷材料力学I9.6用能量法求压杆的临界载荷前面对几种典型情况的欧拉临界压力公式，是用求解压杆微弯时的挠曲线平衡方程的方法求压杆的临界载荷。但对于比较复杂的载荷，支承方式或截面变化，采用能量法比较简洁。能量法的基本思路：1、在临界载荷作用下，压杆可在微弯状态平衡。2、压力沿轴线方向所做的功转化为压杆微弯状态下的应变能。3、假设出符合位移边界条件的挠曲线方程，则根据第2条，可以求出临界载荷的大小。UWddlsx22221ddd1'd1'd2sxyyxyx21'd2lyx2crcr'd2lFWFyx9.6用能量法求压杆的临界载荷如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态，临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变能即：B点的轴向位移：其中：所以：AByxlFcrxB´dxds9.6用能量法求压杆的临界载荷22d2''d2llMxUxEIyxEI2crcr'd2lFWFyx又：由以上两式有：2cr2''d'dllEIyxFyx所以挠曲线确定后，就可以知道临界压力的大小。挠曲线一般可以采用满足位移边界条件的近似曲线代替。2cr2d'dllMEIxFyxAByxlFcrxB´dxds2222llxay00lyy22crcr22llMxFyFax9.6用能量法求压杆的临界载荷AByCyxlFx例用能量法求两端球铰的压杆的临界压力。解：设压杆微弯曲时的挠曲线方程为：该挠曲线满足位移边界条件：则任一截面上的弯矩为：由：2cr2d'dllMEIxFyx有：223crcr02d226lFFallWaxx2222222225crcrcr0023crdd2222606llFyFaFalllUxxxEIIEaIlEFcr210EIFl2cr2EIFl9.6用能量法求压杆的临界载荷所以有：如果根据式2cr2''d'dllEIyxFyx则有：22200''d2d222llEIEIUyxaxEIalcr212EIFl精确解：9.6用能量法求压杆的临界载荷因为挠曲线只是近似曲线，如果对它求两次导数，会引起数值上更大的偏差。22crcr22llMxFyFax基于式：2cr2d'dllMEIxFyx的结果比基于式2cr2''d'dllEIyxFyx的结果更精确。9.6用能量法求压杆的临界载荷qlxfxx例如图细长杆，一端固定，另一端自由，承受集度为q的轴向均布载荷作用。试用能量法确定载荷q的临界值qcr。解：假设压杆微弯时的挠曲线方程为：lxfy2cos1f其中为压杆自由端的挠度。解法一：压杆微弯时，横截面x的轴向位移为：222201'dsin216xflxxyxxll22crcr0d184lqfWxqx均布载荷所做的功：422301''d264lEIfUEIyxlcr38.30EIql9.6用能量法求压杆的临界载荷又UW由：有：cr37.83EIql精确解：与精确解相差6%9.6用能量法求压杆的临界载荷qlxfxxxxyq解法二：取如图两套坐标系，则有x截面上的弯矩为：crdlxMxyqlf2cos1又截面上的挠度为，代入上式有，cr2cos1sin22xlxMxfqlxll2223cr2301932d226lMxfqlUxEIEIcr27.89EIql则有：%77.0跟精确值相差第九章压杆稳定材料力学2cr2EIFl2cr2E欧拉临界应力crststFFFn稳定条件或折减系数法stcrstFnnF欧拉临界载荷第八章能量法一、杆件的应变能二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理)三、卡氏定理能量法四、互等定理五、虚功原理单位力法图乘法六、超静定问题力法七、冲击应力求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：1、分析法/解析法平衡方程——静力平衡关系几何方程——变形几何关系物理方程——应力应变关系利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的方法。在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。能量法/基本概念2、能量法能量法有关的几个基本概念3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U在数值上与外力所作的功W相等。功能原理U＝W1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力在与它相对应的位移上所作的功W。2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个被储存的能量即为应变能或变形能U。能量法/基本概念一、杆件产生基本变形时的应变能1、轴向拉伸或压缩FLLOBLFA22N212222UWFLFLFLEAEAEALL能量法/杆件的应变能式中——轴力，A——横截面面积NFNFLFLLEAEA由拉压杆件组成的杆系的应变能：122N111222niiinniiiiiiiiiiUWFLFLFLEAEAF12345——结构中第i杆的轴力Li——结构中第i杆的长度，Ai——第i杆的截面面积式中n——杆系中杆件的总数。NiF能量法/杆件的应变能取微段研究：N()dd()FxxLEA微段的应变能：2NN()d1d()d()22FxxUFxLEA整个杆件的拉压应变能2N()dd2LLFxxUUEA•受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能qLdxdx(dx)N()FxNN()dFxFx能量法/杆件的应变能2、圆截面杆的扭转MxLMxOBMxA圆截面杆的应变能22p2pp12222xxGIMLTLUWMGIGIL式中T——圆杆横截面上的扭矩；——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。pI能量法/杆件的应变能ppxMLTLGIGI•受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)ddxTT2pd1dd22TxUTGI整个杆的扭转应变能为2p()dd2LLTxxUUGI可取微段分析：能量法/杆件的应变能3、平面弯曲22222221LEIEILMEILmmWU纯弯曲梁的应变能：式中M——梁横截面上的弯矩；I——梁横截面对中性轴的惯性矩LmmoBAm能量法/杆件的应变能MLmLEIEI•横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能221()dd()d22MxxUMxEI整梁的弯曲应变能2()dd2LLMxxUUEI按微段分析：2N()dd2LLFxxUUEA2p()dd2LLTxxUUGI和拉压、扭转应变能比较能量法/杆件的应变能4、剪切纯剪切时微段梁的应变能：FSdxFSOBCFS/ASS1dd21d2UFxFxG2S()1d2FxGA由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此微段梁的应变能为：2S()dd2FxUkGA能量法/杆件的应变能•整个梁的剪切应变能：2S()dd2LLFxUUkGA式中222()dAASAkIb(b为截面的宽度，S为截面对中性轴的静矩)(2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。(1)k由截面的几何形状决定:矩形截面:k=1.2,圆截面:k=10/9,圆环形截面:k=2能量法/杆件的应变能F例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k=1.2。22()d0.62sSLFxFLUkGAGbh2233()d22bLMxxFLUEIEbh253(1)bSULUh细长梁5Lh125303(1)bSUU整个梁的弯曲应变能：细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！整个梁的剪切应变能：得解：二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)FOBA基本变形下应变能的一般表达式：式中F——广义力(力或力偶)；——广义位移(线位移或角位移)且F=C(力与位移成线性关系)表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。22111222FUWFCC能量法/克拉贝隆原理•应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出1F2FiFnF1F2FiFnF12in设在某弹性体上作用有外力12,,,nFFF，在支承约束下，在相应的力方向产生的位移为iFi，(i=1,2,…,n)。则物体的应变能为