第4讲-效用最大化和选择

消费者选择理论•目标：市场需求曲线•方法：个人需求曲线加总–目标函数－偏好公理（第3章）–约束－预算约束线（第4章）–最优化－选择理论（第4章）–参数变化－个人需求曲线（第5、6章）12第4讲效用最大化和选择3,..xyMaxUxystpxpyI间接效用函数*(,,)xyUVppI马歇尔需求,,xxyXdppI..,xyMinpxpystUxyU支出函数*(,,)xyEEppU希克斯需求,,xxyXhppU斯卢茨基方程原问题对偶偏好公理4对于经济学方法的抱怨•在现实中没有人进行效用最大化所要求的“计算”•效用最大化模型预言了选择行为的许多方面•因此,经济学家假设人们的行为是仿佛他们在进行这种计算5对于经济学方法的抱怨•关于选择的经济学模型是极端自私的，而现实中没有人的目标是完全自我为中心的•效用最大化模型没有禁止人们从“做好事”中获得满足6最优化原理•为了最大化效用,在给定能够花费的收入的条件下,消费者将要购买商品和服务:–花光总收入–两种商品之间的心理替代率(MRS)等于市场上的替代率7一个数值例子•假设消费者的MRS=1–愿意用1单位x换一单位y•假定价格为x=￥2和y=￥1•消费者可以变得更好–在市场上将1单位x换成2单位y8预算约束•假设消费者可以利用I在商品x和y之间配置pxx+pyyIx的数量y的数量消费者仅仅能够承担阴影部分三角形内的x和y的组合如果所有收入花费给y,这是所能够买的数量ypI如果所有收入花费给x,这是所能够买的数量xpI9最大值的一阶条件•我们可以利用消费者的效用图来表示效用最大化的过程x的数量y的数量U1A消费者可以通过重新配置他的预算做得好于A点U3C消费者不能获得C点，因为收入不够U2B点B是效用最大化的所在10最大值的一阶条件•在无差异曲线和预算约束线的切点获得了最大效用x的数量y的数量U2Bxypp预算约束线的斜率constantUdydx无差异曲线的斜率-xUypdyMRSpdx常数11最大值的二阶条件•相切仅仅是必要条件，而不是充分条件，除非我们假设MRS是递减的–如果MRS是递减的,那么无差异曲线是严格凸的•如果MRS不是递减的,那么我们必须检查二阶条件以保证我们获得的是最大值。12最大值的二阶条件•相切仅仅是一个必要条件–我们需要MRS是递减的x的数量y的数量U1BU2A在A点相切,但是消费者可以在B点获得更高的效用13角点解•在有些情况中,消费者的偏好可能使得他们仅仅在选择消费一种商品的时候才能获得最大效用x的数量y的数量在A点,无差异曲线和预算约束线没有相切U2U1U3A在A点效用最大化14n种商品情况•消费者的目标是最大化效用=U(x1,x2,…,xn)服从预算约束I=p1x1+p2x2+…+pnxn•建立拉各朗日函数:L=U(x1,x2,…,xn)+(I-p1x1-p2x2-…-pnxn)15n种商品情况•内点最大值解的一阶条件:L/x1=U/x1-p1=0L/x2=U/x2-p2=0•••L/xn=U/xn-pn=0L/=I-p1x1-p2x2-…-pnxn=016一阶条件含义•对于任意两种商品,jijippxUxU//•这意味着在收入处于的最优配置的时候()iijjpMRSxxp对17解释拉各朗日乘子•是消费支出额外增加一元的边际效用–收入的边际效用nnpxUpxUpxU/...//2211nxxxpMUpMUpMUn...212118解释拉各朗日乘子•在边际点,商品的价格表示了消费者对于最后一单位商品效用的评价–消费者愿意为最后一单位付多少钱ixiMUp19角点解•当考虑角点解的时候,必须修改一阶条件:L/xi=U/xi-pi0(i=1,…,n)•如果L/xi=U/xi-pi0,那么xi=0•这意味着ixiiMUxUp/–任何其价格超过其对于消费者边际价值的商品消费者都不会购买20柯布－道格拉斯需求函数•柯布－道格拉斯效用函数:U(x,y)=xy•建立拉各朗日函数:L=xy+(I-pxx-pyy)•一阶条件:L/x=x-1y-px=0L/y=xy-1-py=0L/=I-pxx-pyy=021柯布－道格拉斯需求函数•一阶条件意味着:y/x=px/py•因为+=1:pyy=(/)pxx=[(1-)/]pxx•替换进预算约束:I=pxx+[(1-)/]pxx=(1/)pxx22柯布－道格拉斯需求函数•解出x•解出yxpxI*ypyI*•消费者配置收入中的比率给商品x，比率给商品y23柯布－道格拉斯需求函数•柯布－道格拉斯效用函数在对于实际消费行为的解释力上有局限–收入中配置到某种商品上的比率经常随着经济条件的变化而改变•一个更加一般的函数形式可能在解释消费决策的时候更有用24CES需求•假设=0.5U(x,y)=x0.5+y0.5•建立拉各朗日函数:L=x0.5+y0.5+(I-pxx-pyy)•一阶条件:L/x=0.5x-0.5-px=0L/y=0.5y-0.5-py=0L/=I-pxx-pyy=025CES需求•这意味着(y/x)0.5=px/py•代换进预算约束,我们可以解出需求函数]1[*yxxpppxI]1[*xyypppyI26CES需求•在这些需求函数中,花在x和y上的收入百分比不是一个常数–依赖于两种价格的比率•x(或y)的相对价格越高，花费在x(或y)上的比率越小27CES需求•如果=-1,U(x,y)=-x-1-y-1•一阶条件意味着y/x=(px/py)0.5•需求函数是5.01*xyxpppxI5.01*yxypppyI28CES需求•如果=-,U(x,y)=Min(x,4y)•人们仅仅选择组合x=4y•这意味着I=pxx+pyy=pxx+py(x/4)I=(px+0.25py)x29CES需求•因此,需求函数是yxppx25.0*Iyxppy4*I30间接效用函数•经常可以利用一阶条件解出x1,x2,…,xn的最优值•这些最优值依赖于所有商品的价格和收入•••x*n=xn(p1,p2,…,pn,I)x*1=x1(p1,p2,…,pn,I)x*2=x2(p1,p2,…,pn,I)31间接效用函数•我们可以利用这些x的最优值获得间接效用函数效用最大值=U(x*1,x*2,…,x*n)•替换每一个x*i,得到效用最大值=V(p1,p2,…,pn,I)•效用的最优水平间接依赖于价格和收入–如果价格或者收入改变,效用的最大值也随之改变32总量原理•对于消费者一般购买力上的税收优于对于某种特定商品的税收–收入税允许消费者自由决定如何配置剩下的收入–对于某种商品的税收会减少消费者的购买力，扰乱消费者的选择33总量原理x的数量y的数量AU1•对于商品x的税收将会把效用最大化的选择从A点移到B点BU234•相同数量的收入税将会把预算约束线移到I’I’总量原理x的数量y的数量ABU1U2现在在C点获得最大化的效用U3U3C35间接效用和总量原理•如果效用函数是柯布－道格拉斯形式的，==0.5,我们知道xpx2*Iypy2*I•因此间接效用函数是5.05.050502),,(yx..yxpp(y*)(x*)ppVII36间接效用和总量原理•假设px=1,py=4,I=8•如果对于商品x每单位征收1元的税–消费者购买x*=2–间接效用从2降到1.41•同样的税收将会使得收入减少到￥6–间接效用从2下降到1.537间接效用和总量原理•如果效用函数是固定比率的，U=Min(x,4y),我们得到yxppx25.0*Iyxppy4*I•因此间接效用函数是yxyxyxyxppppyppyxMinppV25.044*425.0x**)4*,(),,(III38间接效用和总量原理•如果对于商品x每单位征收1元的税–间接效用从4降为8/3•相同数量的收入税将收入减少到￥16/3–间接效用从4降为8/3•因为偏好是刚性的,对于x的税收不会扰乱选择礼品赠送3940支出最小化•效用最大化的对偶是支出最小化–镜像，即目标和约束互换–配置收入使得消费者花费最小的支出获得一定的效用水平41支出水平E2足够达到U1支出最小化x的数量y的数量U1支出水平E1太小了达不到U1支出水平E3允许消费者获得U1但是不是做到这点的最小支出A•点A是对偶问题的解42支出最小化•消费者的问题是选择x1,x2,…,xn最小化总支出=E=p1x1+p2x2+…+pnxn服从约束效用=U1=U(x1,x2,…,xn)•x1,x2,…,xn的最优数量依赖于商品价格和要求的效用水平43支出函数•支出函数刻画了在特定价格下达到给定效用水平所需要的最小支出最小支出=E(p1,p2,…,pn,U)•支出函数和间接效用函数互相联系–都依赖于市场价格但是涉及不同的约束44两个支出函数•在两种商品、柯布－道格拉斯函数下的间接效用函数为5.05.02),,(yxyxppppVII•如果我们调换效用和收入(支出)的角色,我们将获得支出函数E(px,py,U)=2px0.5py0.5U45两个支出函数•对于固定比率的情况,间接效用函数是yxyxppppV25.0),,(II•如果我们再次掉换效用和支出的角色,我们将获得支出函数E(px,py,U)=(px+0.25py)U46支出函数的性质•齐次性–同时扩大所有商品的价格也会同比例扩大支出•一次齐次•对于价格非递减–对于所有的商品I，E/pi0•对于价格是凹的47E(p1,…)因为消费者的消费模式会改变,实际支出会小于Epseudo，正如E(p1,…)Epseudo如果当p*1变化后仍然买相同的商品组合,消费者的支出函数是Epseudo支出函数的凹性p1E(p1,…)在p*1,消费者花费E(p*1,…)E(p*1,…)p*1支出函数和间接效用函数•V(px,py,I0)=U0•E(px,py,U0)=I0•V(px,py,E(px,py,U0))=U0•E(px,py,V(px,py,I0))=I0应用•支出函数是分析公共政策的重要工具•通过支出函数，我们可以货币化替代关系，从而评价成本和收益•这可以规避测量效用50要点回顾:•为了获得约束下的最大值，消费者必须:–花掉所有可得收入–选择商品束使得任意两种商品之间的MRS等于两种商品价格之比•在所有产生消费的商品上，消费者会使得商品的边际效用与其价格之比都相等51要点回顾:•相切仅仅是一阶条件–消费者的无差异曲线图必须保证MRS递减–效用函数必须是严格拟凹的52要点回顾:•必须修改相切条件来包含角点解–边际效用与价格之比将会小于所有实际消费商品的边际收益与边际成本之比53要点回顾:•消费者的最优选择依赖于预算约束线的参数–观察到的选择是价格和收入的隐函数–效用也是价格和收入的间接函数54要点回顾:•约束条件下效用最大化问题的对偶问题是最小化能达到要求的效用值所花费的支出–和原问题具有相同的最优解–导出了支出函数，其中支出是目标效用和价格的函数