第六章 应力状态和强度理论000

PP§6-1概述■问题的提出zMyI弯曲::pTI扭转应力随点的位置变化2cossin22应力随截面的方位变化组合变形§6-1概述工程实际中，构件受到几种基本变形组合在一起的复杂变形，并且在小变形条件下，可以将这种复杂变形视为几种基本变形的叠加，称为组合变形。正应力切应力如何进行强度计算应力状态指构件内过一点处沿不同方向斜截面上的应力情况。强度理论研究应力状态的方法：截取单元体；使用截面法。单元体受力特征１．应力在每个侧面上均布；２．相互平行的面上应力等值、反向。从构件中截取一个三维方向尺寸无限小的正六面体（单元体）研究应力状态的目的：研究应力随点和面的变化规律，以确定最大正应力和最大剪应力。maxmaxdxdydz§6-1概述■原始单元体（各侧面应力已知的单元体）ANFFAFAzMyIAzzQSIbA§6-1概述■应力状态概念的进一步说明同一单元体的不同方向面上的应力一般是不相同的。这便是应力的面的概念。同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。§6-1概述应力哪一个截面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明§6-1概述平面应力状态§6-2两向应力状态的解析法yxxyyx一、斜截面上的应力tndAxxyy§6-2两向应力状态的解析法xyxyyyxnx0dAcos)cos(dAxsin)cos(dAxcos)sin(dAysin)sin(dAy:0nF§6-2两向应力状态的解析法tndAxxyydAcosdAsindAcossin)(sincos22yxyx:0tF0dA(cos)sinxdA(sin)cosydA§6-2两向应力状态的解析法tndAxxyycos)cos(dAxsin)sin(dAy22sincoscossin)(yxyx又三角公式：cossin,coscos22122122整理得:其中:,---任意斜截面应力---斜截面法向n与x轴正向夹角xyx,,---正截面应力---（1）2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyxtndAxxyyxy§6-2两向应力状态的解析法注意到：yxxyxyyyxx§6-2两向应力状态的解析法90yxn1n二.主应力:正应力的极值（极大、极小）对(1)式第一式求导,得:0]2cos2sin2[2xyxdd---（1）2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx§6-2两向应力状态的解析法yxxtg220得：---（2）由(2)可解出:0相差90o的两个根，说明：yxxtg220得：---（2）由(2)可表示出sin20、cos20代入(1)第一式，得：出现极值正应力的两个面相互垂直。§6-2两向应力状态的解析法yxx2arctan5.019012---（3）22minmax)2(2xyxyxyxxtg220方向：---（2）§6-2两向应力状态的解析法。对应的截面上的应力是时，在角度当，对应的截面上的应力是时，在角度当min1max1yxyx单元体上切应力为零的平面，称为主平面；该面上的正应力称为主应力；主平面的法线方向叫主方向，即主应力方向。(1)将原单元体上的切应力等效汇合成两对流出和流入的切应力流。(2)最大主应力σmax的作用面偏向于流出的切应力流方向。主应力作用面与主方向配对法则:§6-2两向应力状态的解析法例：纯剪切应力状态及其主应力,0xyxymax45:;omin45:;o22minmax)2(2xyyxyx主应力：yxxytg220主方向：等价流入的剪应力流方向等价流出的剪应力流方向等价流入的剪应力流方向等价流出的剪应力流方向maxmaxminmin§6-2两向应力状态的解析法通过受力物体上的一点可以找出三个主应力：且。321、、321三向应力状态000321，，中有两个不为零，，321两向应力状态中有一个不为零，，321单向应力状态§6-2两向应力状态的解析法AN(1)出现主切应力的两个面相互垂直。对(1)式第二式求导,经推导得:---（4）xyyxtg22122minmax)2(xyyx---（5）(2)主切应力的作用面上,正应力不一定为0。说明:§6-2两向应力状态的解析法三.面内最大切应力:切应力的极值（极大、极小）•(3)式中两式相减与(4)式比较:minmax2222xyyxyx---(3)minmax222xyyx---(4)maxminmax2•(3)式中两式相加:yxminmax讨论:•由(2)和(4)可知:推知:与相差90o，与相差45o021201xyyxtg22112210tgtgyxxtg220§6-2两向应力状态的解析法例：讨论单向应力状态,0xyxy2cos2cos22xxxsin22xmax45:,;22omin45:,;22o§6-2两向应力状态的解析法例题：原始单元体如图示。试求：503020应力单位：MPa1.302.3.）斜截面上的应力；）主应力，主平面；）最大剪应力。o解：写出各应力元素的具体数值1).30o斜截面上的应力30o30o30,2050,30MPaMPaMPaxyx§6-2两向应力状态的解析法MPa66.1860cos2060sin2503030MPa32.5260sin2060cos2503025030305030202）主应力，主平面22max30502022.42MPa002(20)22,305031435817ootg127158o3431o22maxmin62.4305030502017.622MPaMPa因为最大主应力σmax的作用面偏向于流出的切应力流方向,可作图§6-2两向应力状态的解析法22max30502022.42MPa5.020250302tan'28.10328.13'2'1MPa4028.132sin2028.132cos2503025030'1MPa4028.1032sin2028.1032cos2503025030'250o28.13(2)---2cos2sin2(1)---2sin2cos22xyxxyxyx1.应力圆方程(1)改写成:(3)---2sin2cos22xyxyx由(3)2+(2)2得:§6-3两向应力状态的图解法22421xyxRR圆心:),(02yx半径:224)(21xyx应力圆(4)---)2()2(2222xyxyx2yxc§6-3两向应力状态的图解法R2.应力圆作法ABxy2a(x,x)b(y,y)c•在-坐标中，取对应于单元体A、B面的点a、b；•a、b两点连线交轴于c点；•以c为圆心ac为半径作圆。efo§6-3两向应力状态的图解法yyxxRxy2a(x,x)b(y,y)cefo22xyxyyocoffc22222xyxaeceac§6-3两向应力状态的图解法转向、二倍角对应A'a'aAyxCaAcyyxx3.应力圆的应用点面对应2§6-3两向应力状态的图解法•求任意斜截面上的应力a(x,x)b(y,y)c2/)(yx自ac与同向转2角得ec,则e点的坐标就是面上的、。2e(,)§6-3两向应力状态的图解法yyxx2/)(yxa(x,x)(y,y)bco•求正应力的极值及方位：dmaxd’min22max)2(2xyxyxcaoccdocod22''min)2(2xyxyxcaoccdocod§6-3两向应力状态的图解法在单元体上0max、0min相差900xyyxmin0minmaxmax0max02min022/)(yxa(x,x)(y,y)bcodmaxd’mineyxxceaetg22max0§6-3两向应力状态的图解法maxmin•求切应力的极值及方位：maxmax与的作用面相差450minmax2)2(minmax22xyxcamin1max1o45min12minmax12max2/)(yxa(x,x)(y,y)bcodmaxd’min§6-3两向应力状态的图解法maxmin在主切应力面上(e,e’):)(21yx(y,y)b2/)(yxa(x,x)cd’domaxminee’maxmin圆心横坐标:)()(minmax2121yxocminmaxyx§6-3两向应力状态的图解法例题：原始单元体如图示。试用图解法求解：1232.，，；标注在单元体上。max.3.解题步骤：1.建立坐标系2.20/kMPacm选取应力比例尺(40,-50),(-60,50)3.确定点坐标21,DD000303030，；（）1.x504060y应力单位：MPan030§6-3两向应力状态的图解法由应力圆中量取以下尺寸131113.0,4.02.9,0.945,60OAcmOAcmOFcmEFcmDCADCEoo1D2DC1AG13maxE3A(40,-50),(-60,50)3.确定点坐标21,DD504060y应力单位：MPanF4.作应力圆60o§6-3两向应力状态的图解法504060n5.计算结果:(直接测量)3030202.958,200.918,kOFMPakEFMPaoo1133011203.060,20(4.0)80,114522.522kOAMPakOAMPaDCAoo30o30o5040601301D2DC1AG13maxE3AF60o§6-3两向应力状态的图解法§6-3两向应力状态的图解法MPaOCFCDECDCDOCECFCEOCCFOF3.581