力系的平衡

工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所3力系的平衡工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所目录(contents)§3.1力系的平衡条件与平衡方程§3.2力系平衡问题的求解--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所3.1力系的平衡条件与平衡方程3.1.1空间力系的平衡条件与平衡方程1.空间任意力系的平衡条件与平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件为：力系的主矢和对任意点的主矩均等于零R00OMF(3.1)工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所空间任意力系的平衡方程为000()0()0()0xyzxyzFFFMMMFFF(3.3)在空间任意力系作用下刚体平衡的充要条件：力系中所有各力在任意三个正交坐标轴上投影的代数和分别等于零，力系中各力对此三轴之矩的代数和也分别等于零。工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所2.其他空间力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程000xyzFFF(3.4)工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所空间平行力系的平衡方程空间力偶系的平衡方程(3.6)000xyZMMM0()0()0zxyFMMFF(3.5)工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所3.1.2平面力系的平衡条件与平衡方程1.平面任意力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和力系对其作用面内任一点的主矩都等于零，即R00OMF(3.7)平面任意力系的平衡方程的基本形式为00()0xyOFFMF(3.8)工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所1)二矩式图3.1()0()00ABxMMFFF(3.9)2)三矩式()0()0()0ABCMMMFFF(3.10)注意：AB连线不能垂直于x轴。注意：ABC三点不能共线。工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所2.其他平面力系的平衡方程平面汇交力系00xyFF(3.11)平面汇交力系平衡的几何条件(充要条件)是：力系中力矢构成的力多边形自行封闭。0RF或0iF工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所平面平行力系(3.12)0()0xOFMF平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有各力的代数和等于零，各力对于平面内任一点之矩的代数和也等于零。平面力偶系0iM(3.14)工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所3.2力系平衡问题的求解3.2.1单个物体的平衡问题外力作用下处于平衡的受约束物体,应用力系的平衡方程可以求出未知反力的求解过程：根据题意选取研究对象，取出分离体。分析研究对象的受力情况，正确地在分离体上画出受力图。应用平衡方程求解未知量。工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所例3.1悬臂梁AB长l，A端为固定端，如图3.2(a)所示，已知均布载荷的集度为q，不计梁自重，求固定端A的约束反力。图3.2工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所解：取AB梁为研究对象，其受力图如图3.2(b)所示，AB梁受平面任意力系作用，列平衡方程：图3.20,0xAxFF0,0yAyFFQ1()0,02AAMMQF其中Qql解得210,,2AxAyAQqlFFM工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所例3.2如图3.3(a)所示，压路机的碾子重P=20kN，半径r=60cm。欲将此碾子拉过高h=8cm的障碍物，在其中心O作用一水平拉力F，求此拉力的大小和碾子对障碍物压力。图3.3解：选碾子为研究对象。碾子在重力P、地面支承力、水平拉力F和障碍物的支反力的作用下处于平衡，如图3.3(b)所示，这是一个平面汇交力系，各力汇交于O点，当碾子刚离开地面时，=0，拉力F有极值，这就是碾子越过障碍物的力学条件。NAF工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所列y方向平衡方程，得图3.3(b)N0,cos0yBFFP解得其中因此NBPF=cos0.866rhrcos=N23.1kNBF工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所列x方向平衡方程，得图3.3(b)解得其中因此N0,sin0xBFFFNsintanBFFP22()tan0.577rrhrh11.5kNF工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所图3.4根据图形的几何关系，有用几何法求解Ntan11.5kN23.1kNcosBFPPF由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力也等于23.1kN。工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所例3.3如图3.5(a)，均质梯子AB长2a，重P，A、B处均光滑面接触，今人站在E处，重为Q，角、及尺寸b均为已知，试求A、B处的约束反力。图3.5解：取梯子和人一起作为研究对象，主动力有P、Q，A、B处为光滑面约束，D处为绳索约束，受力如图3.5(b)所示，列平衡方程：工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所图3.5其中()0KMFTcos(2)cos0PaQabFh2sin()ha解得T2cos()22sin()PabFQa()0AMFNT2sin2cossincos(2)cos0BaFaPaQabF,)sin(coscos)222(NQabaPFB工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所图3.5解得,NT0,sin0yAFPQFF)sin(coscos)222(NQabaPFB)sin(coscos)222(NQabaPQPFA工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所物体系统3.2.2物系平衡静定问题与超静定问题图静定问题在工程实际问题中，往往遇到由多个物体通过适当的约束相互连接而成的系统当系统中的未知量的数目等于独立平衡方程的数目时，则所有的未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。超静定问题结构中未知量的数目多于独立平衡方程的数目，仅通过静力学平衡方程不能完全确定这些未知量，这种问题称为超静定问题。工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所系统未知量数目与独立平衡方程数目的差称为超静定次数。图3.6图3.7工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所图3.8例3.4起重三角架的AD、BD、CD三杆各长2.5m，在D点铰接，并各以铰链固定在地面上，如图3.8所示。已知P=20kN，，各杆重量不计。求各杆受力。123120,150,90123120,150,901.5mAOBOCO工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所解：取铰链D(含绳子与重物)为研究对象，杆AD、BD、DC均为二力杆，作用在铰链D上的力有重力、杆AD、DC、BD对铰链D的作用力，所有的力均通过D点，组成空间汇交力系。列平衡方程21311230,coscoscos6000,coscossin6000,sinsinsin0xyzFFFFFFFFFFP其中20kN,cos0.6,sin0.8P解方程得12310.56kN,5.28kN,9.14kNFFF工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所例3.5如图3.9所示均质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为P，在A处作用一水平力F，且F=2P。求各杆的内力。解：取长方板为研究对象，各杆均为二力杆，均设为受拉。板的受力如图3.9所示。列平衡方程：图3.91()0,0BFMFF(b)5()0,0AEMFF(a)6()0,02ABaMPFaF(d)4()0,0ACMFF(c)工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所解得由解得由解得62PF(压力)21.5FP(拉力)322FP(压力)30,cos450DHMFFaFa(e)2()0,02FGbMFFbFbP(f)工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所例3.6如图3.10(a)所示结构中，AD=DB=2m，CD=DE=1.5m，P=120kN。若不计杆和滑轮的重量，试求支座A和B的约束反力及BC杆的内力。图3.10工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所图3.10解：先取整体为研究对象，其受力如图3.10(b)所示，且绳子拉力F1=P。列平衡方程：0,AMFN10BFABPADrFDErN12021.5105kN4BPADDEFAB0,yFN0AyBFFPN15kNAyBFPF110,0120kNxAxAxFFFFF110,0120kNxAxAxFFFFF110,0120kNxAxAxFFFFF工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所为求BC杆内力F，取CDE杆连同滑轮为研究对象，画受力图如图3.10(c)。列平衡方程：图3.1010,sin0DMFCDFDErPrF其中2224sin51.52DBaCB所以T150kNsinFDEFaCD，说明BC杆受压力。150kNF工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所例3.7如图3.11(a)所示，水平梁由AC和CD两部分组成，它们在C处用铰链相连。梁的A端固定在墙上，在B处受滚动支座约束。已知：QF1=10kN，PF2=20kN，均布载荷p=5kN/m，梁的BD段受线性分布载荷，在D端为零，在B处达最大值q=6kN/m。试求A和B两处的约束反力。图3.11工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与力学学院/流变力学与材料工程研究所解：选整体为研究对象，其受力如图3.11(a)所示。注意到三角形分布载荷的合力作用在离B点处，它的大小等于三角形面积，即，列平衡方程：13BD112q0,0xAxFFN2110,1102yAyBFFFFFpq0AMFN211130.52.511.513023ABMFFFpq图3.11(a)工程力学精品课程中南林业科技大学土木建筑与