第一讲随机过程的概念

随机过程随机过程及其统计描述一、问题的提出二、随机过程的概念三、随机过程举例四、小结第一节随机过程的概念引例：飞机飞行速度定义1设E是一随机实验,样本空间S={e}，T为参数集若对每个eS,X(e,t)都是实值函数,则称{X(e,t),tT}为随机过程，简记为X(t),tT或X(t),也可记为X(t).称族中每一个函数称为这个随机过程的样本函数。一、随机过程的定义注：1X(e,t)可看作是一个二元函数2定义1偏重于应用，定义2偏重于理论。3随机过程和随机变量的关系定义2：如果对任意tT，有一定义在S上的随机变量X(e,t)与之对应,则称{X(t),tT}为随机过程。对于给定的t0T，X(t0)表示系统在时刻t0所处的状态,X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间,记为I.例1:抛硬币试验二随机过程的例子{X(t),tT}是随机过程。cos,tt(,)I样本函数：状态空间:例2:考虑X(t)=acos(ωt+Θ),t(-∞,+∞)其中a和ω是常数，Θ是在（0，2π）上服从均匀分布的随机变量。因对不同的t,X(t)是不同的随机变量,{X(t),tT}是随机过程。样本函数：状态空间:I=（-a，a）()cos(),(0,2)iiixtat随机相位正弦波012345-3-2-10123data1data2ox(t)t2π3),(22tx0),(11tx例3:掷筛子试验以上都是随机过程，状态空间都是:I={1，2，3，4，5，6}伯努利过程（伯努利随机序列）三、随机过程的分类1.依状态离散还是连续分为：3依样本函数之间的概率关系分为：独立增量过程；马尔科夫过程；平稳过程。2.依时间参数是离散还是连续分为离散型随机过程连续型随机过程离散参数随机过程连续参数随机过程四、小结1.随机过程的概念}.),({,,)(TttxTt记为称为随机过程随机变量无限多个的一族　　依赖于参数2.随机过程的实例及其分类连续型随机过程离散型随机过程连续参数随机过程离散参数随机过程(随机序列)1．一维分布函数族三、随机过程的概率分布(;){()},.FxtPXtxxR称为随机过程的一维分布函数，称{F(x;t),t∈T}为一维分布函数族.设{X(t),tT}是随机过程，对固定的t，随机变量X(t)的分布函数对离散型随机过程，对每一个固定的t，若随机变量(){()},1,2,,kkXtPXtxpk{()}kkPXtxp{{()},}kkPXtxptT为随机过程的一维概率分布为一维概率分布簇.称称对连续型随机过程，对每一个固定的t，若随机变量()(,)Xtfxt(,)fxt{(,),}fxttT为随机过程的一维密度函数为一维密度函数簇.称称例3设随机过程，其中，求的一维密度函数XtetY)(0t()Xe}0),({ttY.,0,,)ln()(])([);(tytytyXPytePytYPtyFX.,0,,)(ln);(tytytyFtyFX.,0,,);();(1tytyytdytydFtyf解：2．二维分布函数族：对于T中任意2个不同的参数t1,t2，称随机向量（X(t1),X(t2)）的分布函数12121122{,;,}{(),()}FxxttPXtxXtx为随机过程{X(t),tT}的二维分布函数.为二维分布函数族.1212{(,;,),}iFxxttxR,,,),3,2(1Tttnnn个不同的时刻对任意)).(,),(),((21ntXtXtXn维随机变量引入分布函数),,,;,,,(2121nnXtttxxxF})(,,)(,)({222211xtXxtXxtXP.,,2,1,niRxi称对固定的,n}),,,,;,,,({2121TttttxxxFinnX.}),({的　　　　　　　为随机过程TttX维分布函数族n科尔莫戈罗夫定理有限维分布函数族完全确定了随机过程的统计特性.例4令，其中是随机变量，其分布率为，试确定随机过程的一维分布函数及二维分布函数．ttAtX,cos)(A13{}PAi3,2,1i)(tX4(;)Fx123(,;0,)Fxx121212333(,;0,){(0),()}{cos0,cos}FxxPXxXxPAxAx11212212{},2,{,2}{2},2.PAxxxPAxAxPAxxx1121122211121122321233212112232312112220,2,12,,,2,122,1,(,;0,)2,232,1,12,32,.xxxxxxxxxxxxFxxxxxxxxxxxxxx或或，或，或解：①函数TttXEtX)],([)(为{X(t),tT}的均值函数.②为{X(t),tT}的方差函数.22()()[()()]XXXDttEXtt为{X(t),tT}的均方值函数.)]([)(tXEtX22③四、随机过程的数字特征⑤Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]为{X(t),tT}的自相关函数,诸数字特征的关系：)()(),(),(),,()(tstsRtsCttRtXXXXXX22()(,)(,)()XXXXDtCttRttt为{X(t),tT}的协方差函数.)]()()][()([))(),((),(ttXssXEtXsXCovtsCXXX④简称相关函数解:Θ的概率密度为)2,0(0)2,0(21)(f02120dtataEtXEtX)cos()]cos([)]([)()]cos()cos([)]()([),(2tsaEtXsXEtsRXdtsa21coscos202stacos22.2)(),()(222atttRtXXX例1求随机相位正弦波的均值函数，方差函数和自相关函数.