大学数学概率论的基本概念第二章

一、频率及其性质三、概率的性质二、概率的公理化定义第二节随机事件的概率研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量事件发生的可能性越大，概率就越大！例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.一、频率及其性质定义次数为，)(Arn频率.易见,频率具有下述基本性质:1.;1)(0Afn2.;1)(sfn3.设nAAA,,,21是两两互不相容的事件,则).()()()(2121nnnnnnAfAfAfAAAf若在相同条件下进行次试验，n其中发生的A则称nArAfnn)()(为事件发生的A历史上著名的投掷硬币试验记录0.51810.50690.50160.500610612048601912012204840401200024000DeMorganBuffonPearonPearon正面频率(/n)正面次数()投掷次数(n)试验者nrnr试验表明：虽然每次投掷硬币事先无法准确预知出现正面还是反面，但大量重复试验时，发现出现正面和反面的次数大致相等，即各占总试验次数的比例大致为0.5，并且随着试验次数的增加，这一比例更加稳定的趋于0.5.在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.例1检查某工厂一批产品的质量,从中分别抽取10件、100件、20件、200件、150件、50件、300件检查,检查结果及次品出现的频率列如下表.10205010015020030001357111600.0500.0600.0500.0470.0550.053由上表可以看出,在抽出的n件产品中,次品数随着n的不同而取不同值,但次品频率n仅在0.05附近有微小变化.这里0.05就是次品频率的稳定值.抽取产品总件数次品数次品频率nn/频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的.因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.概率的统计定义定义在相同条件下进行n次重复试验,若事件A发生的频率nArAfnn)()(随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数P附近摆动,则称P为事件A的概率，记为P(A).概率被视为频率的稳定值,从而应具有与频率相应的性质:1.;1)(0Ap2.;1)(Sp3.设nAAA,,21是两两不相容的事件,则).()()()(2121nnApApApAAAP例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.例2从某鱼池中取100条鱼,做上记号后再放入该鱼池中.先从该池中任意捉来40条鱼,发现其中两条有记号,问池内大约有多少条鱼?解设池内有n条鱼,则从池中捉到一条有记号鱼的概率为,100n它近似于捉到有记号鱼的频率,402即402100n,2000n故池内大约有2000条鱼.下面请同学们来回答几个问题：1、假定一个数学模型指出某事件出现的概率是1/2,如果你做了100次试验，这个事件发生了20次，你会有什么想法?如果你有20位朋友，他们每人都做100次试验，在这2000次试验中，这个事件只发生了300次，你又会有什么想法?2、医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”医生的说法对吗？在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础.数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.二、概率的公理化定义定义3:设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一件事件A赋予一个实数,记为P(A),若P(A)满足下列三个条件:1.非负性:对每一个事件A,有;0)(AP2.完备性:;1)(SP3.可列可加性:对任意可数个两两互不相容的事件,,,,,21nAAA有)P(A)P(A)AA(A21n21P,)P(An则称P(A)为事件A的概率.非负性说明，任一事件的概率介于0与1之间；完备性说明，必然事件的概率为1；可列可加性说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.由概率的公理化定义，我们可以推导出概率的若干性质.下面我们就来给出概率的一些简单性质.在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于维恩图.三、概率的性质性质1.0)(P性质2(有限可加性)设nAAA,,,21是两两不相容的事件，则有).()()()(2121nnAPAPAPAAAP＝性质3).(1)(APAP性质4).()()(ABPAPBAP特别地，若,AB则(1));()()(BPAPBAP(2)).()(BPAP性质5对任一事件A，.1)(AP性质6).()()()(ABPBPAPBAP注：性质6可推广到任意有限个事件的并的情形.例如,)()()()()(ABPCPBPAPCBAP).()()(ABCPACPBCP例3已知,5.0)(AP,2.0)(BAP,4.0)(BP求(1));(ABP(2));(BAP(3));(BAP(4)).(BAP解(1)因为,BBAAB且AB与BA是不相容的,故有)()()(BPBAPABP于是)(ABP(2))(AP)(BAP2.04.0)()(BAPBP;2.0)(1AP5.01,5.0)()(ABPAP2.05.0;3.0例4已知,5.0)(AP,2.0)(BAP,4.0)(BP求(3));(BAP(4)).(BAP解(3))(BAP(4))(BAP7.01)()()(ABPBPAP2.04.05.0;7.0)(BAP)(1BAP.3.0完例5观察某地区未来天的天气情况,5记iA为事),()(0AiPAPii件:“天不下雨”,,5,4,3,2,1i已知求下列各事件的概率:(1)5天均下雨;(2)至少一天不下雨;(3)至多三天不下雨.解显然510,,AAA是两两互不相容事件故iiAPSP50)(1,50SAii且50)(iiAP解显然510,,AAA是两两不相容事件故iiAPSP50)(1,50SAii且50)(iiAP于是,161)(0AP,16)(iAPi,5,4,3,2,1i记(1),(2),(3)中三个事件分别为,,,CBA则(1))(AP)(160AP5100)()(iAiPAP)(0AP,161解于是,161)(0AP,16)(iAPi,5,4,3,2,1i记(1),(2),(3)中三个事件分别为,,,CBA则(1))(AP)(0AP,161(2))(BP)(CP(3)iiAP51)(10AP,1615iiAP30.16730)(iiAP例6某城市中发行2种报纸.,BA经调查,在这2种报纸的订户中,订阅A报的有45%,B订阅报的有35%,同时订阅2种报纸BA,的有10%,求只订一种报纸的概率.解记事件},{报订阅AA},{报订阅BB则{只订一种报})()(ABBA又这两件事是互不相容的,由概率加法公式及性质4,有,ABBA)()(ABBPABAP)()()()(ABPBPABPAP1.035.01.045.0.6.0