大学数学(高数微积分)有理分式的积分(课堂讲义)

4.有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn这有理函数是真分式；,)2(mn这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例1123xxx.112xx2221.(40)(1)(2)(3)(4)()()nnpqAAMxNMxNxaxaxpxqxpxq最简分式的积分　难点将有理函数化为部分分式之和.根据代数学的知识，任何有理真分式都可以分解成上述四类最简分式的和。（1）分母中若有因式，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中kAAA,,,21都是常数.特殊地：,1k分解后为;axA（2）分母中若有因式，其中kqpxx)(2则分解后为042qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中iiNM,都是常数),,2,1(ki.特殊地：,1k分解后为;2qpxxNMx真分式化为部分分式之和的待定系数法6532xxx)3)(2(3xxx,32xBxA),2()3(3xBxAx),23()(3BAxBAx,3)23(,1BABA,65BA6532xxx.3625xx例12)1(1xx,1)1(2xCxBxA)1()1()1(12xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2xBA,并将值代入)1(1C.11)1(112xxx2)1(1xx例2例3.1515221542xxx)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,)2()2(12ACxCBxBA,1,02,02CACBBA,51,52,54CBA,1212xCBxxA)1)(21(12xx整理得例4求积分.)1(12dxxxdxxx2)1(1dxxxx11)1(112dxxdxxdxx11)1(112.)1ln(11lnCxxx解例5求积分解.)1)(21(12dxxxdxxxdxx2151522154dxxx)1)(21(12dxxdxxxx2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx例6求积分解.11632dxeeexxx令6xet,ln6tx,6dttdxdxeeexxx63211dttttt61123dtttt)1)(1(162dttttt2133136Cttttarctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx23)1ln(3ln6ttdttttd2221131)1(32422255d54xxxxxx练习：求不定积分说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：)1(多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx,2tan12tan22xx,2sin2coscos22xxx二、三角函数有理式的积分2sec2tan1cos22xxx,2tan12tan122xx令2tanxu,12sin2uux,11cos22uuxuxarctan2duudx212dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR（万能置换公式）例7求积分.cossin1sindxxxx解,12sin2uux2211cosuux,122duudx由万能置换公式dxxxxcossin1sinduuuu)1)(1(22duuuuuu)1)(1(112222duuuuu)1)(1()1()1(222duuu211duu11uarctan)1ln(212uCu|1|ln2tanxu2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx例8求积分.sin14dxx解（一）,2tanxu,12sin2uux,122duudxdxx4sin1duuuuu46428331Cuuuu]33331[8133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx解（二）修改万能置换公式,xutan令,1sin2uux,112duudxdxx4sin1duuuu2421111duuu421Cuu1313.cotcot313Cxx解（三）可以不用万能置换公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22xdxxxdx222csccotcsc)(cotxd.cot31cot3Cxx结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.例9求积分.sin3sinsin1dxxxx解2cos2sin2sinsinBABABAdxxxxsin3sinsin1dxxxxcos2sin2sin1dxxxx2cossin4sin1dxxx2cossin141dxx2cos141dxxxxx222cossincossin41dxx2cos141dxxdxxxsin141cossin412dxx2cos141dxxxdxsin141)(coscos1412dxx2cos141xcos412tanln41x.tan41Cx讨论类型),,(nbaxxR),,(necxbaxxR解决方法作代换去掉根号.例10求积分dxxxx11解令txx1,12txx三、简单无理函数的积分,112tx,1222ttdtdxdxxxx11dttttt2221211222tdttdtt11122Cttt11ln2.11ln122Cxxxxx例11求积分.1113dxxx解令16xt,65dxdttdxxx3111dtttt52361dttt163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.31d(1)xxx练习：求11d1xxxx练习：求例12求积分.1213dxxxx解先对分母进行有理化原式dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331xdx)12(1221xdx.)12(31)13(922323Cxx简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.一、填空题：1、dxxxCBxxAdxx111323，其A____,B________,C__________；2、dxxCxBxAdxxxx111111222,其中A_____,B_____,C_______；3、计算,sin2xdx可用万能代换xsin___________,dx_____________；4、计算,mbaxdx令t___,x___,dx____.练习题5、有理函数的原函数都是_________.二、求下列不定积分：1、321xxxxdx；2、xxxdx221；3、dxx411；4、xdx2sin3；5、5cossin2xxdx；6、dxxx1111；7、xdxxx11；8、342)1()1(xxdx.三、求下列不定积分（用以前学过的方法）：1、dxxx31；2、dxxxxsincos1；3、241xxdx；4、dxxx32cossin；5、dxxx283)1(；6、dxxxsin1sin；7、dxxxxx)(33；8、dxexexx2)1(；9、dxxx22)]1[ln(；10、xdxxarcsin12；11、dxxxxxcossincossin；12、))((xbaxdx.二、1、Cxxx34)3)(1()2(ln21；2、Cxxxxarctan21)1()1(ln41224；3、)12arctan(421212ln8222xxxxxC)12arctan(42；一、1、2,1,1；2、-1,21,21；3、2212,12uduuu；4、bax,abt2,dtat2；5、初等函数.练习题答案4、Cx3tan2arctan321；5、Cx512tan3arctan51；6、Cxxx)11ln(414；7、xxxx1111lnCxx11arctan2,或Cxxxarcsin11ln2；8、Cxx31123.三、1、Cxx11)1(212；2、Cxx)sinln(；3、Cxxxx233213)1(；4、Cxxxx)tanln(sec21cos2sin2；5、Cxxx484arctan81)1(8；6、Cxx2tan12,或Cxxxtansec；7、Cxx66)1(ln；8、Ceexexxx)1ln(1；9、Cxxxxxxx2)1ln(12)]1[ln2222；10、xxxxarcsin124)(arcsin22Cx42；11、Cxxxxsin21cos21ln221)cos(sin21；12、Cxbaxarctan2.作业：第204页1;2