大学数学竞赛第一单元函数、极限、连续

上一页下一页理学院1第一单元函数、极限、连续上一页下一页理学院21.1函数上一页下一页理学院3一、有关函数的四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)例1求1521[()ln(1)].xxIxxeexxdx解1()xxfxee是奇函数，11,()()xxeefxfx22()ln(1)fxxx是奇函数，22()ln(1)fxxx222(1)ln1xxxx上一页下一页理学院422222(1)ln(1())ln1fxxxxxxx22ln1ln(1)().xxfx2()ln(1)xxxeexx因此是奇函数。于是116610202.7xdxxdx1521[()ln(1)].xxIxxeexxdx上一页下一页理学院5例2设()()Fxfx，则下列结论正确的是()(A)若()fx为奇函数，则()Fx为偶函数。(B)若()fx为偶函数，则()Fx为奇函数。(C)若()fx为周期函数，则()Fx为周期函数。(D)若()fx为单调函数，则()Fx为单调函数。解(B)不成立，反例32(),()13xfxxFx(C)不成立，反例()cos1,()sinfxxFxxx(D)不成立，反例2()2,()(,)fxxFxx在内(A)成立。A上一页下一页理学院6证明0()(0)(),xFxFftdtf为奇函数，0(0)()()xFfFttxd0(0)()()xFfudu0(0)()xFfudu().Fx所以，()Fx为偶函数。上一页下一页理学院7二、有关复合函数1.已知()fx，()gx求[()]fgx2.已知[()]fgx和()gx，求()fx例1已知12()()()fxxafxfxxa和12()()()gxxbgxgxxb,求[()]fgx上一页下一页理学院8例1已知12()()()fxxafxfxxa和12()()()gxxbgxgxxb,求[()]fgx解1()xbgxa当，时，[()]fgx11([])gfx，2()xbgxa当，时，[()]fgx[()]fgx[()]fgx21([])gfx，1()xbgxa当，时，12([])gfx，22([])gfx，2()xbgxa当，时，上一页下一页理学院9111122211222[()]()[()]()[()][()]()[()]()fgxxbgxafgxxbgxafgxfgxxbgxafgxxbgxa当，时，当，时，当，时，当，时.即例3设函数1()0xDx，为有理数，0为无理数，则[()]_____DDx.分析函数D(x)的函数值是有理数1或0，所以()[]1.DxD1上一页下一页理学院10例2已知()xxfexe，且(1)0f，求().fx解令xet，则ln.xt因此ln()().xtfeftt于是1ln()(1)xtfxfdtt211ln2xt21ln.2x所以21()ln.2fxx上一页下一页理学院111.2极限上一页下一页理学院12一、数列与函数极限的存在准则(1)夹逼准则；(2)单调有界收敛准则例1设1211112,2,,2,.nnxxxxx求证limnnx存在，并求其值.分析给定数列的奇数项子列单调增加有上界，偶数项子列单调减少有下界，因此两子列均收敛.对于这种数列仍可应用单调有界准则.上一页下一页理学院1323,nx解首先易见1211112,2,,2,.nnxxxxx又计算可得112111(),2,3,,nnnnnnxxxnxxx310,xx420,xx因此2nnxx与11nnxx异号，子列2{}nx单调减少有下界2，子列21{}nx单调增加有上界3，所以两子列均收敛，然后由递推式上一页下一页理学院142121221122,12nnnnxxxx两端取极限得212limlim12,nnnnxx由此得到lim12.nnx上一页下一页理学院15命题1.1若lim,nnxa则11lim.nknkxan命题1.2设01,r对Nn有1,nnxarxaa为常数，则lim.nnxa例2设012(1)0,,N,lim.2nnnnnxxxnxx求解因为0,N.nxn又因1221222,22nnnnxxxx1.2据命题得lim2.nnx上一页下一页理学院16()()()vxfxux二、幂指函数的极限命题1.3在某变化过程中,函数()fx为无穷小量，()gx为无穷大量，lim()(),fxgxb则()lim[1()]e.gxbfx命题1.4在某变化过程中,()fx与()gx,()Fx与()Gx均为等价无穷小(大),且()0,()0,fxgx()lim()(0),GxgxAA则()lim().FxfxA上一页下一页理学院17解令例1计算极限ln1lim(1).xxx1,1yx则ln11limln(1)[lim()ln]0,xxyxyy11lnln1~,xyy因此根据命题1.4可得故原式=1.上一页下一页理学院18三、用洛必达法则与泰勒展开式计算极限应用洛必达法则之前应注意:(1)先判断极限是否00或型;(2)通过分解、变量的等价替换、析出可成为常数的变量等整理和化简,以便于计算导数;(3)可重复上述步骤.应用泰勒展开式时需注意分子与分母展开的阶数为各自主部的阶数.上一页下一页理学院190()lim0,xfxx10()(0)4,lim1.xxfxfx求例1设函数f(x)有连续的二阶导数，且解因0()lim2,2xfx01()limxfxxx0()lim2xfxx因此利用命题1.3的结论有120()lim1e.xxfxx上一页下一页理学院20例2若3200sin6()6()lim0,limxxxxfxfxxx则为()(A)0.(B)6.(C)36.(D)∞.解用sin6x的泰勒展开式,知应选：C.C注由于f(x)无可微条件,此题不能用洛必达法则.341sin666,3!xxxox3sin6(),xxfxox23()636.fxxox上一页下一页理学院21例3求0limxxx0limxxx解ln0limxxxeln0limxxxe0limlnxxxe10lnlimxxxe01e上一页下一页理学院22例4求22201coslim.sinxxxx解原式=222220sincoslimsinxxxxxx22401sin24limxxxx3042sin2cos24lim4xxxxx301sin44lim2xxxx201cos4lim6xxx04sin4lim12xxx4.3上一页下一页理学院23例5设函数()fx连续，且(0)0,f求000()()lim.()xxxxtftdtxfxtdt解原式=0000()()lim()xxxxxftdttfuutdtxfd(分母令xtu)000()()()lim()()xxxftdtxfxxfxfuduxfx(应用洛必达法则)上一页下一页理学院24000()()()lim()()xxxftdtxfxxfxfuduxfx(应用洛必达法则)0(0)()lim()()xxfxfxfx(用积分中值定理:ξ在0和x之间)(0)(0)(0)fff1.2上一页下一页理学院25四、无穷小、无穷大量阶的比较(1)当正整数n→∞时,以下各无穷大数列的阶由低到高排列为:log,,(0),(1),!,.nnannnaann(2)当实数x→+∞时，以下各无穷大量的阶由低到高排列为：log,,(0),(1),.xxaxxxaax上一页下一页理学院26sin~tan~arcsin~ln(1)~~,xxxxxex(3)当x→0时，下列各无穷小量211cos~,2xx101kkknkaxaxax00~(0,0).kaxak(A)1(B)2(C)3(D)421xe例1设当x→0时(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比高阶的无穷小，则正整数n等于()B上一页下一页理学院2715sin00sin(),()(1)xxttxdtxtdtt()x()x例2设则当x→0时，是的().(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小解00'limlim'xxxxxx10sinsin555lim(1sin)cosxxxxxx5.eC上一页下一页理学院28五、有关两个重要公式(1)1sinlim0xxx(2)exxx)11(limexxx10)1(lim()0sin()lim1()xxx1()0()lim[1()].xxxe上一页下一页理学院29例1求limcoscoscos242nnxxx解当x=0时，原式=1.当x≠0时，原式coscoscos2422sin22sinlm2innnnnnxxxxx111coscoscos242sin22lim2sin2nnnnnnxxxxxsinlim2sin2nnnxx2(lim1)sin2nnnxxsinlim2sin2nnnxxxxsin.xx上一页下一页理学院30例2设()fx在(,)内可导，且lim()xfxe，limlim[()(1)]xxxxcfxfxxc，求c的值。解limxxxcxc1lim1xxxcxcx2.ccceee则拉格朗日中值定理，有()(1)()[(1)]fxfxfxx().f其中ξ介于(x-1)与x之间，那么上一页下一页理学院31()lim[()(1)]lim().xxfxfxfe于是则2c=1，e2c=e,即1.2c上一页下一页理学院3210lim0,0,0.3xxxxxabcabc10lim3xxxxxabc解333033lim13xxxxxxabcxxxbxxacabc3303lim1,3xxxxxxabcxabce0031111limlim33xxxxxxxxabcabcxx例3求上一页下一页理学院330031111limlim33xxxxxxxxabcabcxx0001111limlimlim3xxxxxxabcxxx11lnlnlnln.33abcabc11ln330lim.3xxxxabcxabcabec上一页下一页理学院34111lim0,0,0.3nnnnnabcabc求注：2009年全国决赛试题有类似题目1113lim.3nnnnnababcc同理上一页下一页理学院35六、求分段函数的极限例1求1402sinlim.||1xx