3.2 边缘分布

第二节边缘分布一、边缘分布函数二、离散型随机变量的边缘分布律三、连续型随机变量的边缘分布四、小结,},{),(yYxXPyxF},{)(xXPxF}{xXP},{YxXP),(xF)(xFX.),(的边缘分布函数关于XYX:问题一、边缘分布函数?,的分布如何确定YX,),(的分布已知YX}{},{),()(yYPyYXPyFyFY为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.).,()(xFxFX记为,x同理令.},{),(yYxXPyxF则,y令),(},{}{xFYxXPxXP称.),(的边缘分布函数关于为随机变量XYX,),(),(的分布函数为随机变量设YXyxF二、离散型随机变量的边缘分布律的联合分布设二维离散型随机变量),(YX律为,},{ijjipyYxXP.,2,1,ji记ip1jijpjp1iijp},{jyYP,,2,1j{},iPXx,,2,1i),(),2,1(),2,1(YXjpipji为和分别称.的边缘分布律和关于关于YX;,2,1,}{1ipxXPjiji.,2,1,}{1jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21)(xFX)(yFY因此得离散型随机变量关于X和Y的边缘分布,1xxjijip),(xF.1yyiijjp),(yF函数分别为已知下列分布律，XY1012421242124264210例1求其边缘分布律.XY1042124212421242610ipjp注意联合分布边缘分布解747317473例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的联合分布以及边缘分布.解:（X,Y）可能取值P(X=0,Y=3)P(X=1,Y=1)=P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)=(1/2)3=1/83(1/2)3=3/8如下表所示三、连续型随机变量的边缘分布),,(YX对于连续型随机变量设它的概率),,(yxf密度为由于)(xFX),(xF,d]d),([xyyxfx,d),()(yyxfxfX记.),(的边缘概率密度关于称其为随机变量XYX同样,其概率密度为)(yFY(,),yfxydxdy,d]d),([yyxyxf.d),()(xyxfyfYY也是一个连续型随机变量，Y的边缘概率密度.解)(xfX,10时当xxy2xyOxy)1,1()(xfXxxy2d6例3具有联合概率密度和设随机变量YX),(yxf.)(),(yfxfYX求边缘概率密度,,62xyx.,0其他yyxfd),(yyxfd),(,10时或当xx)(xfX).(62xx因而得xy2xyOxy)1,1(yyxfd),(.0),(62xx,10x,0.其他)(xfX,10时当y)(yfY,10时或当yy)(yfY得xy2xyOxy)1,1()(yfY,10y),(6yy,0.其他xyxfd),(yyxd6),(6yyxyxfd),(.0例4设(X,Y)的概率密度是(2),01,0(,)0,cyxxyxfxy其它求(1)c的值；（2）两个边缘密度。1(,)fxydxdy解：(1)120[(2)/2]cxxdxxy01y=x100[(2)]xcyxdydx524c245c解:(2)24(2),01,0(,)50,yxxyxfxy其它()Xfx212(2),5xx01xxy01y=x其它，()0Xfx024(2)5xyxdyyyxfd),(解:(2)24(2),01,0(,)50,yxxyxfxy其它2243(2),522yyy()Yfy01yxy01y=x其它，()0Yfy124(2)5yyxdxxyxfd),(2243(2),01()5220,Yyyyyfy其它即212(2),01()50,Xxxxfx其它,,yx.11ρ的概率密度为设二维随机变量),(YX),(yxf,,,,,2121都是常数其中ρσσμμ,0,021σσ且2222212121212)())((2)()1(21expσμyσσμyμxρσμxρ,,,),(121为服从参数为我们称YX221121ρσσ.,2的二维正态分布).,,,,(~)YX,(222121N记为则二维正态随机变量的边缘概率密度为)(xfX,eπ2121212)(1σμxσ.x)(yfY,eπ2122222)(2σμxσ.y二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,.ρ并且都不依赖于参数请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,不一定.举一反例以示证明.答布一定是二维正态分布吗?其联合分的联合密度函数为令),(YX,),(不服从正态分布YX因此边缘分布均为正态分布的随机变量,),(yxf),sinsin1(eπ21222yxyx,eπ21)(22xXxf.eπ21)(22yYyf但是,显然联合分布不一定是二维正态分布.其解答：.d]d),([),()(xXxyyxfxFxF.d),()(yyxfxfX联合分布边缘分布.d]d),([),()(yYyxyxfyFxF.d),()(xyxfyfY四、小结思考题1.从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若X、Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律.2.边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?