3.2 静电场高斯定理

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3.2静电场高斯定理1.电力线3.2.1电力线(电场线,线)E1831年,法拉第首先在磁场中引入了一种直观形象地描述场的几何方法——力线。接着在1832年,他又把这种方法应用到静电场中来。后来,麦克斯韦发现了法拉第这种描述方法的深刻数学内涵,从而将这种方法发展成描述一切矢量场的普遍手段。在静电场重,我们用下面方法引入力线。(1)在静电场中画一簇带箭头的曲线,规定曲线上任一点的切线方向代表该点的电场强度方向。切线的正方向顺着箭头方向选取。E上面那一簇曲线被称为电力线。为了使电力线能同时表示电场强度的大小,我们又有如下规定。(2)在场中各点垂直于电场强度方向作一个小面元ds,穿过该面元的电力线条数用dN表示。并让:dsdNE按上面规定,我们可以说穿过单位面积的电力线条数,与电场强度在数值上相等。首先需要说明,什么叫“穿过单位面积的电力线条数”。在国际单位制中,单位面积为1平方米。实际上我们并不是真的取1平方米面积,去数一数有多少条力线穿过;而是取一极其小的面积元ds,并按穿过该小面积元的电力线密度将其放大到1平方米,然后按放大后的那1平方米上的电力线条数去定义小面积元ds处的电场强度大小。其次我们要说明,场强大小往往不是整数,而力线的条数总是整数。比如有一力线非常稀疏的场,在2平方米的面积上只有一条力线穿过,按这样的密度考虑,1平方米就平均只有0.5条力线了。这样就可以解决力线为整数而场强不为整数的矛盾了。我们从上面的几何表示中,一眼就可以看出电场强度的方向;并且从电力线的疏密程度,也可以看出电场强度的大小。(2)任何两条电力线在无电荷处不相交。2.电力线的性质(1)起于正电荷或来自无穷远;止于负电荷或伸向无穷远;3.典型带电体的电力线+++++++++++++++3.2.2电通量穿过任意曲面S的电力线代数和称为穿过该曲面的电通量。1.电通量的几何定义我们先说说电力线的代数和是什么意思。提到代数和,说明电通量是有正负的。我们知道电力线上面是有箭头的,因此电力线穿过曲面就有一个方向的问题。我们可以规定从一侧穿过的电力线其电通量为正,那么从相反方向穿过的电力线其电通量就为负。2.电通量的数学表示SSnE接下来,我们对电通量的正负作出具体规定。先给曲面规定一个法线方向,凡力线与法线成锐角时其通量为正,反之为负。(1)穿过均匀电场中平面的电通量。定义有向曲面:nSS于是在均匀电场中,穿过一个平面的电通量可表示为:SEe(2)穿过非均匀电场中任意曲面的电通量。Sd我们将任意曲面分成一系列有向面元,容易理解穿过任意曲面的电通量为:SdEde)(SeeSdEd如果曲面是闭合的,穿过它的电通量则用如下面积分表示:)(SeeSdEd电磁学中的闭合曲面被统称为高斯面。对非闭合曲面,其上小面元的法向可随意选取,但无论怎样选取,结果的正负都会告诉我们电力线是从哪一侧穿过的。不过,对高斯面则规定一律取外法向。按这样规定,进入高斯面的电力线其电通量为负,而从高斯面穿出的电力线其电通量为正。3.2.3静电场高斯定理1.穿过高斯面的电通量定性分析如左图所示,当高斯面内无电荷(或电荷的代数和为零)的时候,进入、穿出的电力线条数相等,于是穿过高斯面的电通量显然为零。当高斯面内有净剩的正电荷时,穿过高斯面的电通量显然为正;当高斯面内有净剩的负电荷时,穿过高斯面的电通量显然为负。于是有下面结论:穿过高斯面的电通量只取决于高斯面内的电荷代数和,而与高斯面外的电荷无关。2.静电场高斯定理)(0)(0)(11ViiSedVqSdE内穿过高斯面的电通量与高斯面内电荷的关系由下式决定:象静电场这样,其力线有头有尾、有始有终的矢量场被称作有源场。高斯定理正是反映了静电场的这种有源性,静电场的源就是电荷。3.有源场真空中的任何静电场中,穿过高斯面的电通量,在数值上等于该曲面内电荷的代数和除以,这叫静电场高斯定理。03.2.4高斯定理的应用当场源电荷的分布有较高的对称性时,我们可以利用这种对称性,并借助高斯定理来求场强。下面分三种对称性来介绍。1.球对称(1)均匀带电球面。(例3-4)R由对称性分析容易得到:①球面内、外任一点的电场强度方向只能沿半径向里或向外。②到球心距离相等的点上,电场强度大小必定相等。根据对称性分析,可取如图所示的高斯面,应用高斯定理:1Sr1SR02)(41QErSdES)(420RrrQE2S同理,取如图所示的高斯面,应用高斯定理:042)(2ErSdESr2SR)(0RrE在球面上(见例3-2):)(820RrRQErEO0E204rQER208RQE对称性分析及其结果,同球面情况完全相同,因此所取高斯面也相同。(2)均匀带电球体。(例3-5)02)(41QErSdES)(420RrrQERr2Sr1S3032)(42RQrErSdES)(430RrRQrErEOrE21rER2.轴对称(1)无限长均匀带电细线。由对称性分析容易得到:①任一点的电场强度方向只能垂直于轴线向外辐射或指向轴线。②到轴线距离相等的点上,电场强度大小必定相等。nEnEr作同轴圆柱形高斯面,应用高斯定理:下底上底侧SdESdESdEe02llrESdE侧rE02(2)无限长均匀带电圆柱面。(例3-6)对称性分析及其结果,同无限长细线情况完全相同。02llrE)(20RrrE02lrE)(0RrE在柱面上(见例3-3):)(40RrRErEO0ErE02RRE04(3)无限长均匀带电圆柱体。(例3-7))(20RrrE)(220RrRrE对称性分析及其结果,请同学自己进行。(1)无限大均匀带电薄平板。(例3-8)3.镜像对称对称性分析可以得到:①任一点的场强只能垂直于板面。②到平板距离相等的点,场强大小必相等。选取一个盒子状高斯面,其两个端面与平板平行,侧面与平板垂直,截面形状不限。应用高斯定理:EnEnxSSESdES0)(12)0(2)0(200xixiE(2)无限大均匀带电厚平板。与无限大薄平板具有完全相同的对称性,因此可选同样的高斯面求解。bx设电荷体密度为。SbSE0112)2(2)2(200bxibbxibESxSE21202)2(0bxixEbx用薄平板叠加的求解方法,请同学自行研究。

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