极坐标与参数方程

考点一极坐标方程与直角坐标方程互化命题点极坐标方程1.直角坐标与极坐标的互化把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.2．直线的极坐标方程过点M(ρ0，θ0)，且与极轴所成的角为α的直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α和θ＝π－α；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过点Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.1．(2015·高考课标卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π4＝22.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，y＝b2t3＋1(t∈R为参数)，求a，b的值．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解x2＋y－22＝4，x＋y－4＝0，得x1＝0，y1＝4，x2＝2，y2＝2.所以C1与C2交点的极坐标为4，π2，22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，由参数方程可得y＝b2x－ab2＋1.所以b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a＝－1，b＝2.考点二参数方程与普通方程的互化命题点参数方程1．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．2．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ.(θ为参数)．(2)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt.(t为参数)．1．(2015·高考课标卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα，(t为参数，t≠0)，其中0≤απ.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.2．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.(2)设P3＋12t，32t，又C(0，3)，则|PC|＝3＋12t2＋32t－32＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，点P的直角坐标为(3,0)．