极坐标与直角坐标的互换

确定点的位置直角坐标系OP（x，y）xy极坐标系OxM),(两种坐标系各有什么优点先看下面一个例子：已知点M直角坐标系下坐标为（2,2），极坐标系下坐标为)4,22(（1）将点M向右平移3个单位到点N，则N点坐标为（2）将点M绕极点逆时针旋转4到点P，则P点坐标为（5,2）)2,22(由此得到结论：直角坐标系适用点的平移变动；极坐标系适用点的旋转变动。点的极坐标点的直角坐标极坐标与直角坐标的互化（1）极点与直角坐标系的原点重合;三个前提条件：（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;（3）两种坐标系的单位长度相同.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和xysincosyxxyyxtan222注：将点的直角坐标化为极坐标时，取20,0),(yx),(互化公式OPxy例1把下列点的极坐标化为直角坐标：)32,8()1(M)47,6()2(N解：由互化公式得（1）,432cos8x,3432sin8y点M的直角坐标是)34,4(（2）,2347cos6x,2347sin6y点N的直角坐标是)23,23(对于点的极坐标中0上面的公式也适用。)32,8(M例如：也可以表示为)35,8(M此时：,435cos8x,3435sin8y同样得到点M的直角坐标是)34,4(变式训练在极坐标系中，求两点间距离：);45,12(),4,5()1(BAOx)4,5(A5)45,12(B17125||AB12)2,8(),6,2()2(BA由互化公式得)8,0(),1,3(BA13252)81()03(||22AB方法一：转换成直角坐标Ox)6,2(A2)2,8(B8方法二：利用三角形余弦定理连接ＡＢ，则362AOB132523cos82282||22ABOx)6,2(A2)2,8(B8推广到一般情形：)0,0)(,(),,(212211BA则A，B两点间距离为)cos(2||21212221AB例2把下列点的直角坐标化为极坐标：);2,6()1(P解：由互化公式得,22)2()6(223362tan?又点P在第一象限，得6因此点P的极坐标是)6,22(,22)2()6(223362tan又点Q在第三象限，得67因此点Q的极坐标是)67,22();2,6()2(Q解：(2)由互化公式得);2,2()3(R,2)2()2(22又点R在第四象限，得47因此点R的极坐标是)47,2(122tan(3)由互化公式得课堂练习在极坐标系中,已知三点判断M,N,P三点是否在一条直线上.解：由互化公式得M,N,P三点的直角坐标系分别为)3,3(),0,2(),3,1(PNM由此得NPMN)3,1(所以M,N,P三点在一条直线上.小结极坐标与直角坐标的互化公式sincosyxxyyxtan222),(M),(yxM20且要依点所在象限决定