极点配置问题

110.2极点配置问题2概述本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极点配置（Poleassignment），也就是使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。对线性定常离散系统的状态反馈设计问题，也有类似的方法和结论。3对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品质指标，在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。因此在进行系统设计时，设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点，是可以有效地改善系统的性能品质指标的。这样的控制系统设计方法称为极点配置。在经典控制理论的系统综合中，无论采用频率域法还是根轨迹法，都是通过改变极点的位置来改善性能指标，本质上均属于极点配置方法。本节所讨论的极点配置问题，则是指如何通过状态反馈阵K的选择，使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式，因此考虑到问题的可解性，对期望的极点的选择应注意下列问题:1)对于n阶系统，可以而且必须给出n个期望的极点;2)期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数;3)期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。p2p1p35基于指定的期望闭环极点，线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为:给定线性定常连续系统确定反馈控制律uxxBA使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立vxuKnisBKAii,...,2,1,)(*6下面分别讨论:状态反馈极点配置定理SISO系统状态反馈极点配置方法MIMO系统状态反馈极点配置方法*输出反馈极点配置*10.2.1状态反馈极点配置定理在进行极点配置时，存在如下问题:被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则系统是可以进行极点配置的。下面的定理就回答了该问题。定理2-1对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K，能使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被控系统(A,B,C)是状态完全可控的。证明(1)先证充分性(条件结论)。即证明，若被控系统(A,B,C)状态完全可控，则状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。由于线性变换和状态反馈都不改变状态可控性，而开环被控系统(A,B,C)状态可控，因此一定存在线性变换能将其变换成可控标准型。不失一般性，下面仅对可控标准型证明充分性。下面仅对SISO系统进行充分性的证明，对MIMO系统可完全类似于SISO的情况完成证明过程。证明过程的思路为:分别求出开环与闭环系统的传递函数阵比较两传递函数阵的特征多项式建立极点可任意配置的条件证明过程:如果SISO被控系统(A,B,C)为可控标准型，则其各矩阵分别为1111...10...0...1...00............0...10bbbCBaaaAnnnn且其传递函数为nnnnnasasbsbsG......)(1111若SISO被控系统(A,B,C)的状态反馈阵K为K=[kn…k2k1]则闭环系统K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为111101...0............-00...1-.--.--.-nnnnkABKaakak相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式分别为11111111...()()...()()()...()nnknnnknnnnnbsbGssaksakfskasaks如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an*那么,只需令fK(s)=f*(s),即取a1+k1=a1*an+kn=an*则可将状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)的极点配置在特征多项式f*(s)所规定的极点上。即证明了充分性。同时，还可得到相应的状态反馈阵为K=[kn…k2k1]其中*iiikaa(2)再证必要性(结论条件)。即证明，若被控系统(A,B,C)可进行任意极点配置，则该系统是状态完全可控的。采用反证法。即证明，假设系统是状态不完全可控的，但可以进行任意的极点配置。证明过程的思路为:对状态不完全可控的开环系统进行可控分解对可控分解后的系统进行状态反馈其完全不可控子系统不能进行极点配置与假设矛盾,必要性得证证明过程:1111121222200AABAxxuxx其中状态变量是完全可控的;状态变量是完全不可控的。1x2x对状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)作同样的线性变换,有11111112121222200ABKABKBAxxvxx其中12[]KKKP被控系统(A,B,C)状态不完全可控,则一定存在线性变换x=Pc,对其可进行可控分解,得到如下状态空间模型:x由上式可知，状态完全不可控子系统的系统矩阵的特征值不能通过状态反馈改变，即该部分的极点不能配置。22~A虽然状态完全可控子系统的的特征值可以任意配置，但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵的特征值个数。11~AA因此,系统的所有极点并不都能任意配置。(,,)ABC由于线性变换不改变系统特征值，因此系统(A,B,C)的极点并不是都能任意配置的。这与前面假设矛盾，即证明了：被控系统可任意配置极点，则系统一定是状态完全可控的。故必要性得证。16由可控标准型的状态反馈闭环系统的传递函数状态反馈虽然可以改变系统的极点，但不能改变系统的零点。当被控系统是状态完全可控时，其极点可进行任意配置。因此，当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重合时，则闭环系统的传递函数中存在零极点相消现象。11111...()()...()nnknnnnbsbGssaksak17根据零极点相消定理可知，闭环系统或状态不可控或状态不可观。由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全可控特性，故该闭环系统只能是状态不完全可观的。这说明了状态反馈可能改变系统的状态可观性。从以上说明亦可得知，若SISO系统没有零点，则状态反馈不改变系统的状态可观性。10.2.2SISO系统状态反馈极点配置方法上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置的充分必要条件，而且给出了求反馈矩阵K的一种方法。对此，有如下讨论:1.由上述定理的充分性证明中可知，对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题，若其状态空间模型为可控标准型，则相应的反馈矩阵为K=[kn…k1]=[an*-an…a1*-a1]其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期望的闭环系统特征多项式的系数。11APAPBPB对可控标准型~进行极点配置，求得相应的状态反馈阵因此，原系统的相应状态反馈阵K为***1111nnnnKaaaaaa1KKP2.若SISO被控系统的状态空间模型不为可控标准型，则由9.9节讨论的求可控标准型的方法,利用线性变换x=P,将系统(A,B)变换成可控标准型,即有x(,)AB下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。例2-1设线性定常系统的状态方程为122131xxu求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。解：1.判断系统的可控性开环系统的可控性矩阵为2-4[]1-5BAB则开环系统为状态可控，可以进行任意极点配置。2.求可控标准型11111111/61/312[118601052101][]BPBpBABpPpAAPAP3.求反馈律因此开环特征多项式f(s)=s2-2s-5而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式f*(s)=s2+2s+5则得状态反馈阵K为1**12211-121[5-(-5)2-(-2)][---1861-7263]KKPaaaaP11582141713xxu通过验算可知，该闭环系统的极点为-1±j2，达到设计要求。则在反馈律u=-Kx+v作用下的闭环系统的状态方程为例2-2（P252例10-1，掌握）已知系统的传递函数为)2)(1(10)(ssssG试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K，使闭环系统的极点配置在-2和-1±j上。解：1.要实现极点任意配置，则系统实现需状态完全可控。因此，可以通过选择可控标准型来建立被控系统的状态空间模型。010000100231[1000]xxuyx2.系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式f*(s)分别为f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4则相应的反馈矩阵K为K=[a3*-a3a2*-a2a1*-a1]=[441]系统的可控标准型实现为因此，在反馈律u=-Kx+v下，闭环系统状态方程为010000104641[1000]xxuyx在例2-2中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需先求系统实现，即需选择状态变量和建立状态空间模型。这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、可以直接作反馈量的问题。由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的，因此对于实际的控制系统，它可能不能直接测量，甚至只是抽象的数学变量而已，实际中不存在物理量与之直接对应。若状态变量不能直接测量，则在状态反馈中需要引入所谓的状态观测器来估计系统的状态变量的值，再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。10.2.3MIMO系统状态反馈极点配置方法*MIMO线性定常连续系统极点配置问题的提法为:nisBKAii,...,2,1,)(*对给定的状态完全可控的MIMO被控系统Σ(A,B)和一组所期望的闭环极点,要确定rn的反馈矩阵K,使成立nisi,...,2,1,*29对SISO系统，由极点配置方法求得的状态反馈阵K是唯一的,而由MIMO系统的极点配置所求得的状态反馈阵K不唯一。这也导致了求取MIMO系统极点配置问题的状态反馈矩阵的方法多样性。MIMO系统极点配置主要方法有:(1)化为单输入系统的的极点配置方法(2)基于MIMO可控标准型的极点配置方法(3)鲁棒特征结构配置的极点配置方法。下面分别介绍前2种方法。301.化为单输入系统的极点配置方法对可控的多输入系统，若能先通过状态反馈化为单输入系统，则可以利用前面介绍的SISO系统的极点配置方法来求解MIMO系统的极点配置问题的状态反馈矩阵。为此，有如下MIMO系统极点配置矩阵求解算法步骤。第1步:判断系统矩阵A是否为循环矩阵(即每个特征值仅有一个约旦块或其几何重数等于1)。若否,则先选取一个rn维的反馈矩阵K1,使A-BK1为循环矩阵,并令;若是,则直接令。1AABKAA31第3步:对于等价的单输入系统的极点配置问题,利用单输入极点配置方法,求出状态反馈矩阵K2,使极点配置在期望的闭环极点。nisi,...,2,1,*第2步:对循环矩阵,适当选取r维实列向量p,令b=Bp且为可控的。第4步:当A为循环矩阵时,MIMO系统的极点配置反馈矩阵解K=pK2;当A不为循环矩阵时,MIMO系统的极点配置反馈矩阵解K=pK2+K1。32在上述算法中，之所以需要判断系统矩阵A是否为循环矩阵是因为对单输入系统,若A不为循环矩阵(其某个特征值对应约旦块多于一个),则根据推论3-1,系统直接转化成的单输入系统不可控,不能进行极点配置。例2-3设线性定常系统的状态方程为