弧长曲线

第十一章曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分三、对面积的曲面积分二、对坐标的曲线积分四、对坐标的曲面积分五、基本公式:格林、高斯、斯托克斯公式实例平面曲线弧的质量有一平面光滑曲线弧L,其密度为计算该曲线弧的质量M.分割、近似、求和、取极限),(iiM),(iini10limis第一节对弧长的曲线积分yxAB一、概念Ldsyxf),(iniiisf),(lim10积分区域被积函数弧长元素dszyxf),,(iiniiisf),,(lim101、定义f(x,y)在平面光滑曲线弧L上有界，f(x,y,z)在空间光滑曲线弧上有界，2、性质Lds1)1(的长度L,,21轴对称关于xLLLdsyxf),(),(),(yxfyxf),(),(yxfyxf01),(2Ldsyxf对称性)2(,,21面对称关于xoydszyxf),,(),,(),,(zyxfzyxf),,(),,(zyxfzyxf01),,(2dszyxf与二重积分类似与三重积分类似与积分家族的性质类似3、应用(1)平面（空间）光滑曲线弧的质量LdsyxfM),(dszyxfM),,((2)平面（空间）光滑曲线弧的质心),(yxL的质心LLdsyxfdsyxxfx),(),(LLdsyxfdsyxyfy),(),(与积分家族的应用类似dszyxfzyIx),,()(22dszyxfzxIy),,()(22dszyxfxyIz),,()(22(2)平面（空间）光滑曲线弧对坐标轴的转动惯量LxdsyxfyI),(2LydsyxfxI),(2平面空间Ldsyxf),(积分区域被积函数Ddyxf),(),(yxf),(yxf：平面弧L：平面区域D)()(tytx))(),((ttf)(xyy))(,(xyxf122yx22yxdyxD)(22dD1Ldsyxf),(积分区域被积函数),(yxf：平面弧L)()(tytx))(),((ttf二、计算dtttds)()(22],[t))(),((ttfdttt)()(22对弧长的曲线积分上限下限定理例1解如图建立坐标系）（设线密度为的转动惯量的圆弧对于它的对称轴，中心角为求半径为1.2R02RdtLxdsyI2)cossin(3RttRytRxL,sin,cos:2)sin(tRyxLdsyxf),())(),((ttfdttt)()(22L方程为：],[),(),(ttytxLdsyxf),())(),((ttfdttt)()(22L方程为：],[),(),(ttytx讨论：L方程为：],[),(baxxyyLdsyxf),(ba))(,(xyxfdxxy)(12L方程为：],[),(dcyyxxLdsyxf),(dc)),((yyxfdyyx)(12直角坐标L方程为：],[),(baxxyyLdsyxf),(ba))(,(xyxfdxxy)(12例2解.)1,1()0,0(:2之间的一段弧与上点xyLLdsy]1,0[,2xxy102xdxx2)2(1Ldsy)155(21L方程为：例3解.),(),0,(),0,0(:为顶点的三角形边界以CBALLdsyx)sin(sin],0[,0xy0xsindx0124LCABCAB:ABABdsyx)sin(sin2:BC],0[,yxBcdsyx)sin(sin0)sin(sinydy012:CA],0[,xxyCAdsyx)sin(sin0)sin(sinxxdx11L2442422],[),(baxxyyLdsyxf),(ba))(,(xyxfdxxy)(12Ldsyxf),())(),((ttfdttt)()(22L方程为：],[),(),(ttytxL方程为：],[),(Ldsyxf),()sin,cos(fd)()(2极坐标例4解.0),()(:222222ayxayxL双纽线Ldsy||404da2cos114LLyds)221(42aL方程为：],[),(Ldsyxf),()sin,cos(fd)()(2对称性40,2cos:1aLsin2cosa402sin4dadaads22)2cos22sin2()2cos(da2cosLdsy||积分区域被积函数),,(zyxf对弧长的曲线积分：空间曲线],[),(),(),(ttzztyytxx))(),(),((tztytxfdttztytxds)()()(222dszyxf),,())(),(),((tztytxfdttztytx)()()(222例5解dszyxM),,(dtet3tttezteytex,sin,cos:的密度与上点到原点距离的平方成反比，且在(1,0,1)处密度为1.2222),,(zyxzyx求上从t=0到t=2之间弧段质心.20dtet3tttetete222)sin()cos(2te2te2)1(32edtetetetetedsttttt222)cossin()sincos(dszyxx),,(dtet320te22sin3tetcosdszyxy),,(dtet320te2)2cos1(3tetsindszyxz),,(dtet320te232tex)1(32sin32e212siney212cos1ez212e质心)12,12cos1,12sin(222eeetttezteytex,sin,cos:dtedst3),,(zyxte2例6解Ldsyxxy)432(22ayxL周长为,134:22L关于x轴对称，02LxydsLLdsyxdsyxxy)43()432(2222Lds12Lds12a12