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因式分解简单应用一、填空题1．已知m+n=5，mn=3，则m2n+mn2=_________．2．已知x+y=6，xy=﹣3，则x2y+xy2=_________．3．当a=3，a﹣b=1时，代数式a2﹣ab的值是_________．4．若m+n=8，mn=12，则mn2+m2n的值为_________．5．若x+y=1003，x﹣y=2，则代数式x2﹣y2的值是_________．6．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为_________．二、解答题7．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．8．分解因式：a2﹣2ab+b2﹣c2．9．分解因式：a2﹣b2﹣2a+110．分解因式：m2﹣n2+2m﹣2n11．（1）给出三个多项式2a2+3ab+b2，3a2+3ab，a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式；（2）解方程组．12．给出三个整式a2，b2和2ab．（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．13．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．14．现有三个多项式：a2+a﹣4，a2+5a+4，a2﹣a，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．15．给出三个多项式X=2a2+3ab+b2，Y=3a2+3ab，Z=a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．16．对于任意的正整数n，所有形如n3+3n2+2n的数的最大公约数是什么？17．上数学课时，老师提出了一个问题：“一个奇数的平方减1，结果是怎样的数？”．请你解答这个问题．18．已知A=a+2，B=a2﹣a+5，C=a2+5a﹣19，其中a＞2．（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由．19．已知2x﹣3=0，求代数式x（x2﹣x）+x2（5﹣x）﹣9的值．20．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为ak元（1≤k≤n），试用k、n和b表示ak（不必证明）；（3）比较ak和ak+1的大小（k=1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．因式分解的简单应用答案一、填空题1．只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可；提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键，然后整体代值计算。解：∵m+n=5，mn=3，∴m2n+mn2=mn（m+n）=3×5=15．2．先提取公因式进行因式分解，然后整体代入计算，准确找出公因式是解题的关键，然后整体代入计算。解：x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×6=﹣183．本题要求代数式a2﹣ab的值，而代数式a2﹣ab恰好可以分解为两个已知条件a，（a﹣b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答，本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．解：a2﹣ab=a（a﹣b），当a=3，a﹣b=1时，原式=3×1=3．4．应把所给式子进行因式分解，整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可，解：∵m+n=8，mn=12，∴mn2+m2n=mn（m+n）=12×8=96．5．本题可有两种方法：（1）将x+y=1003，x﹣y=2组成方程组，解出x、y的值；再代入x2﹣y2求值；（2）将x+y=1003，x﹣y=2看作整体运用平方差公式计算，把x+y=1003，x﹣y=2看作整体运用平方差公式计算，列方程组较复杂。解：∵x+y=1003，x﹣y=2，∴x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）=2×1003=2006．6．把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可，解：∵a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．二、解答题7．本题有四项，应该考虑运用分组分解法．观察后可以发现，本题中有a的二次项a2，a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组，先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式进行分解，所以要先看某式的二次项，一次项，常数项是否可以组成完全平方公式。解：a2﹣4a+4﹣b2=（a2﹣4a+4）﹣b2=（a﹣2）2﹣b2=（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）8．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．将a2﹣2ab+b2作为一组，先用完全平方公式，再用平方差公式解答，难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项完全符合完全平方公式，应考虑前三项为一组．解：a2﹣2ab+b2﹣c2=a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）9．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的二次项，a的一次项，有常数项．所以要考虑a2﹣2a+1为一组，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有a的二次项，a的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．解：a2﹣b2﹣2a+1=（a2﹣2a+1）﹣b2=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）10．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中m2﹣n2符合平方差公式，2m﹣2n提公因式后作为一项可进行下一步分解，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题m2﹣n2符合平方差公式，所以首要考虑的就是两两分组法．解：m2﹣n2+2m﹣2n=（m2﹣n2）+（2m﹣2n）=（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）=（m﹣n）（m+n+2）11、（1）将任选两个进行加（或减）法运算，求得结果分解因式即可；（答案不唯一）（2）运用代入法或加减法解方程组即可．解：（（1）3a2+3ab+a2+ab=4a2+4ab=4a（a+b），答案不唯一．（2），（1）×2+（2）得7x=14，x=2把x=2代入（1）得y=﹣2∴方程组的解是12．（1）将a2+b2+2ab利用完全平方公式分解因式后，把已知条件代入求值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，都能使所得的多项式因式分解，先对所选的整式进行因式分解，然后将已知条件代入求值即可．（1）主要考查了利用完全平方公式进行因式分解的解题方法；（2）这是一道开放型题目，答案不唯一，只要根据所选整式先进行因式分解，再把已知条件代入求值解：（1）当a=3，b=4时，a2+b2+2ab=（a+b）2=49．（2）答案不唯一，式子写对给（1分），因式分解正确给．例如，若选a2，b2，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．若选a2，2ab，则a2±2ab=a（a±2b）13、本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项，最后进行因式分解．本题答案不唯一，本题考查了整式的加减，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，因式分解时先考虑提取公因式，没有公因式的再考虑运用完全平方公式或平方差公式进行因式分解．解：方法一：（x2+2xy）+x2=2x2+2xy=2x（x+y）；方法二：（y2+2xy）+x2=（x+y）2；方法三：（x2+2xy）﹣（y2+2xy）=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）；方法四：（y2+2xy）﹣（x2+2xy）=y2﹣x2=（y+x）（y﹣x）14．本题属于开放题型，注意答案不唯一．运用整式的加减运算，再进行因式分解．本题考查整式的加减，提公因式法、公式法分解因式，对于因式分解有公因式的一定先提公因式，没有公因式的再考虑用平方差公式或完全平方公式．解：①（a2+a﹣4）+（a2+5a+4）=a2+a﹣4+a2+5a+4=a2+6a=a（a+6）；②（a2+a﹣4）+（a2﹣a）=a2+a﹣4+a2﹣a=a2﹣4=（a+2）（a﹣2）；③（a2+5a+4）+（a2﹣a）=a2+5a+4+a2﹣a=a2+4a+4=（a+2）2．15．本题考查整式的加法运算，就是去括号、合并同类项，因式分解时有公因式先提取公因式，没有公因式的可考虑利用完全平方公式或平方差公式进行因式分解．解：（以下给出三种选择方案，其他方案从略）解答一：Y+Z=（3a2+3ab）+（a2+ab）=4a2+4ab=4a（a+b）；解答二：X﹣Z=（2a2+3ab+b2）﹣（a2+ab）=a2+2ab+b2=（a+b）2；解答三：Y﹣X=（3a2+3ab）﹣（2a2+3ab+b2）=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）16．把所给的多项式利用因式分解写成乘积的形式：n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2）．因为n、n+1、n+2是连续的三个正整数，所以其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，可知n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍数，所以最大公约数为6．主要考查了利用因式分解的方法解决实际问题．要先分解因式并根据其实际意义来求解解：n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2），∵n、n+1、n+2是连续的三个正整数，∴其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，∴n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍数，又∵n3+3n2+2n的最小值是6，（如果不说明6是最小值，则需要说明n、n+1、n+2中除了一个是2的倍数、一个是3的倍数，第三个不可能有公因数．否则从此步以下不给分）∴最大公约数为617．设奇数为2n+1（n为整数），根据题意可列式为（2n+1）2﹣1=4n2+4n=4（n2+n）=4n（n+1），因为n为整数，所以n与n+1中必有一个偶数，n（n+1）是偶数（或者说是2的倍数），所以结果是8的倍数，主要考查了利用因式分解的方法解决实际问题．要先分解因式并根据奇数的实际意义来求解。解：【方法一】：当奇数为1、3、5、时，这个数为0、8、24、，（2分）所以这个数应是8的倍数．（4分）然后转入代数化，参照方法二给分．（注：用﹣至两个数验算，未回答不给分，回答是整数、偶数给1分，回答是4的倍数、8的倍数给2分；用3个以上的数验算，回答是整数、偶数、4的倍数给3分）【方法二】：设奇数为2n+1（n为整数），（1）则这个数为（2n+1）2﹣1=4n2+4n=4（n2+n）=4n（n+1）．（到此处：回答是整数、偶数、4的倍数的给4分）因为n为整数，所以n与n+1中必有一个偶数．（4分）所以n（n+1）是偶数（或者说是2的倍数）．（5分）所以结果是8的倍数．（6分）18．计算B﹣A后结论，从而判断A与B的大小；同理计算C﹣A，根据结果来比较A与C的大小，本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想。解：（1）B﹣A=（a﹣1）2+2＞0，所以B＞A；（2）C﹣A=a2+5a﹣19﹣a﹣2，=a2+4a﹣21，=（a+7）（a﹣3）．因为a＞2，所以a+7＞0，从而当2＜a＜3时，A＞C；当a=3时，A=C；当a＞3时，A＜C19、整体思想，对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解，本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解。解：x（x2﹣x）+x2（5﹣x）﹣9=x（x2﹣x）+x2（5﹣x）﹣9=x3﹣x2+5x2﹣x3﹣9=4x2﹣9．当2x﹣3=0时，原式=4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3）=020．（1）第2所民办学校得到的奖金为：（总资金﹣第一所学校得到的奖金）÷n；第3所民办学校得到的奖金为：（总资金﹣第一所学校得到的奖金﹣第2所民办学校得到的奖金）÷n；（2）由（1）