§16全概率公式与贝叶斯公式_图文

1§1.6全概率公式与在前面学习中，我们知道概率的加法公式和乘法公式可以解决许多概率计算问题，但对于许多较复杂事件的概率计算我们还无能为力，本节我们学习另外两个概率公式——全概率公式和贝叶斯公式．它们与之前的两个公式一起构成概率计算问题的四大公式．贝叶斯公式2一、全概率公式1()().niiiPBPAPBAΩBA1A2A3A4A6A7A5A812,,,nAAA定理1.7若构成一个完备事件则对于任何事件0,1,2,,,iPAin组，且B，有311nniiiiBBBAAB显然12,,,nABABAB两两不相容，证分配律1()niiPBPAB有限可加性1()niiPAB1().niiiPAPBA乘法公式41A如果视12,,,nAAA为“原因”，那么B就是“结果”，2AAnB原因事件结果事件全概率公式解决由因索果问题12,,,nAAA是B发生的所有的不同的原因每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式”之“全”取为此意.5An教师教学水平高2A学习环境良好1A自身努力1()(.)niiiPBPAPBA学生成绩好B原因6例1.22一批产品共8件，其中正品6件，次品2件．现不放回地从中取产品两次，每次一件，求第二次取得正品的概率．结于求2.PA是2A发生的两个不同的“原因”．1A1A与构成一个完备事件组，即1A1A与解记,1,2,iAii第次取得正品问题归由全概率公式，所求概率72121121PAPAPAAPAPAA65263.87874我们把例1.22稍稍作一些改动，可获得一个有趣的结果．例1.23一批产品共8件，其中正品6件，次品2件．现不放回地从中取产品三次，每次一件，求第三次取得正品的概率．解记,1,2,3,iAii第次取得正品8由全概率公式，所求概率31231212312PAPAAPAAAPAAPAAA1231212312PAAPAAAPAAPAAA3.PA问题归结于求12,AA12AA与12,AA12,AA12,AA构成一个完备事件组，即12AA是3A发生的四个不同的“原因”．12AA与12AA9121312PAPAAPAAA6546252652163.8768768768764121312PAPAAPAAA121312PAPAAPAAA121312PAPAAPAAA10◆从件数一定的正品和次品组成一批产品中，作不放回抽样，各次抽到正品的概率相等！若把抽到正品视为中奖，则上面的结论简单叙述为：中奖的概率与摸奖的顺序无关！小结例1.22和例1.23的结果：1233.4PAPAPA11例1.24某工厂有四个车间生产同一种计算机配件，四个车间的产量分别占总产量的15%、20%、30%和35%，已知这四个车间的次品率依次为0.04、0.03、0.02及0.01．现在从该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率是多少？2，3，4，B={抽到次品}．41()()iiiPBPAPBA0.200.030.300.020.350.01=2.15%．0.150.04解令,1,iAii抽到第个车间的产品由全概率公式12二、贝叶斯公式1,1,2,,.()iiinjjjPAPBAPABinPAPBA证由条件概率的定义、乘法公式及全概率定理1.８若nAAA12,,,构成一个完备事iPAin0,1,2,,,则对于任何事组，且件，有13◆贝叶斯公式是在“结果”已经发生条件下，寻找各“原因”发生的条件概率．可以说，贝叶斯公式解决的是追根溯源问题．1.()iiiinjjjPAPBAPABPABPBPAPBA公式，14例如，某生“学习成绩好”这个结果发生了，我们可以探讨是由于“学习环境良好”促成的概率有多大．◆贝叶斯公式可以帮助人们确定结果（事件B）发生的主要原因．15根据以往经验确定的一种主观概率，而后者也可以说，贝叶斯公式是利用先验概率去求后验概率．iA概率，“结果”B发生的条件下各“原因”的概率iPAB为后验概率，前者往往是通常称各“原因”的概率iPA为先验是在结果B发生之后对原因iA的重新认识．16例1.25(续例1.24)若该厂规定，一旦发现了次品就要追究有关车间的经济责任．现在从该厂生产的产品中任取一件，结果为次品，但该件产品是哪个车间生产的标志已经脱落，问厂方如何处理这件次品比较合理?具体地讲，各个车间应承担多大的经济责任?解从概率的角度考虑可以按iPAB的大个车间的经济责任．1,2,3,4ii小来追究第在前面的计算已经求得41()0.0215.jjjPAPBA17于是，由贝叶斯公式可得111410.150.040.2791.0.0215()jjjPAPBAPABPAPBA同理可得，20.2791,PAB30.2791,PAB40.1628.PAB18由此可知，各个车间依次应承担27.91%、27.91%、27.91%和16.28%的经济责任.这样处理是使人信服的，比如说虽然第四个车间的产量占总产量的35%，但是它的次品率是最低的，它生产的次品只占总次品的16.28%.在很多时候需要同时使用全概率公式和贝叶斯公式来解决一个较复杂的问题.19例1.26设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份．(1)求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率．201231()()(),3PAPAPA113,10PBA1B,1,2,3,iAii任取的报名表是第区考生的,1,2,jBjj第次抽到的报名表是男生表由题设可得(1)问题归结于求1.PB解设21135.25PBA的所有的不同的原因．1B123,,AAA构成一个完备事件组，是发生1B根据全概率公式，有311129.90iiiPBPAPBA127,15PBA2212121221212.(1.7)PBBPBBPBBPBPBBPBB121377,10930PBBA(2)问题归结为求12.PBB由条件概率的定义可得12.PBB下面我们先求由条件概率的本来含义得到231235205.252430PBBA根据全概率公式17852.33030309312121iiiPBBPAPBBA122788,151430PBBA241217614,10930PBBA122878,151430PBBA123201919,252430PBBA12.PBB再求由条件概率的本来含义得到25312121iiiPBBPAPBBA将以上求得的各个值代入(1.7)式，得所求概率为122920.41902961PBB11481941.330303090又根据全概率公式26网赚论坛台槱浳歃