§1关于实数集完备性的基本定理

第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理首页ק2闭区间上连续函数性质的证明首页ק1关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理与柯西收敛准则二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点,,nnab构成区间套的闭区间列是前一个套者后一个，一、区间套定理与柯西收敛准则（i）11[,][,],1,2,;nnnnababn(ii)lim()0nnnba或简称区间套．这里的性质（i）表明，即各闭区间的端点满足如下不等式1221nnaaabbb(1)定理7.1（区间套定理）使得,1,2,.nnabn即,1,2,.nnabn(2)设闭区间列,nnab具有如下性质则称,nnab为闭区间套，定义1首页×且有分析即要证明闭区间列[,],1,2,nnabn有唯一的公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点，式和单调有界定理可以知道数列由（1）na和nb都存在极限，只要证明这两个数列极限相等且属于所有的我们[,],1,2,nnabn则找到一个公共点;然后证明唯一性.证由（１）式，na为递增有界数列，依单调有界定理，na有极限,,1,2,.nan（3）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有limlimnnnnba（4）且,1,2,.nbn（5）联合（3）、（5）即得（2）式.最后证明满足（2）的是唯一的．设数也满足,1,2,.nnabn首页×区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立．,1,2,.nnban由区间套的条件（ii）得lim0,nnnba故有.注1对于开区间列，有可能不成立,如,10,n虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，1lim(0)0nn但不存在属于所有开区间的公共点．则由（２）式有首页×前者是区间套定理本身条件的要求保证诸区间后者则把证明整个区间上所具有某性质的问题归结为点邻域的性质，应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题，恰当地构造区间套.注2一方面，这样的区间套必须是闭、缩、套，即闭区间列.,nnab满足（i）11[,][,],1,2,;nnnnababn(ii)lim()0.nnnba另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在区间套的每一个闭区间中，存在唯一公共点,[,](1,2,)nnabn[,]ab(,)U实现完满整体向局部的转化.由（4）容易推的如下很有用的区间套性质.首页×使得在每个外只有数列中有限项.要使用区间套定理证明充分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限.对任给的,存在,使得对,的，0存在,使得当时有0NnN,(;)nnabU作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则＂（定理２.１０）.即数列收敛的充要条件是：na00N,mnN有.mnaa分析由数列极限定义易证得必要性；我们将对柯西列构造区间套na,,nn,,nnna推论若是区间套所确定的点则对任给[,](1,2,)nnabn首页×在区间内含有中几乎所有的项，存在，使得对一切有,即在区间内含有中几乎所有的项对任给的,存在,当时有证[必要性]设由数列极限定义,lim.nnaA00N,mnN,,22mnaAaA因而.22mnmnaaaAaA[充分性]按假设,对任给的,00NnNnNaa,NNaana(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所项”).nana据此，令则存在，1,21N1111,22NNaana记这个区间为11,.首页×则存在在区间内含有中几乎所有的项.再令21,221()NN222211,22NNaana记2222112211,,,,22NNaa它也含有中几乎所有的项，na且满足1122221,,.2及继续依次令311,,,22n照以上方法得一闭区间列,,nn其中每个区间都含中几乎所有的项，na且满足11,,,1,2,,nnnnn110,2nnnn首页×本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限.即是区间套.,nn由区间套定理，存在唯一的一个数,(1,2,).nnn现在证明数就是数列的极限.na事实上，由定理7.1的推论，对任给的，存在使得当nN时有00,N,(;).nnU因此在内含有中除有限项外的所有项.(;)Una这就证得.limnna注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思想方法.注首页×若的临域内都含有中无穷多个点则称为集的一个聚点.点集只有一个聚点存在在中至多包含中有限多个点.又若为开区间(a,b)(a,b)内每一点以及端点a、b都是S的聚点；任何有限数集也没有聚点.(它可以属于也可以不属于)定义2设为数轴上的点集为定点SSSSS点集有两个聚点和1(1)nSn1121;1Sn0;S而正整数集没有聚点，N注1点集的聚点可以属于，也可以不属于；SSS注2设是数集，不是的聚点SS000(;)US首页×二、聚点定理与有限覆盖定理则其极限称为S的一个聚点.若点的任何邻域内都含有中异于的点，聚点概念的另两个等价定义如下定义2'对于点集，SS即，(;)US则称为S的一个聚点.定义2若存在各项互异的收敛数列，nxSlimnnx关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下.1）定义2定义是显然的;22）定义定义2也不难得到;23）定义定义.22首页×而取则是为了保证点列的各相互异性.令,,则存在且显然…….则对任给的,存在，证设为(按定义)的聚点,S211min(,)2x0(;)oxUS令则存在1111(;);oxUS令22(;)oxUS21;xx11min(,)nnxn则存在且(;),onnxUS11,,nnxxx与互异无限地重复以上步骤，得到中各项互异的数列.且由,易见.1nnxnlimnnx注本证明中取,为了保证数列收敛到.1nn因此可以取其他的小量;1||nnx注意这种技巧！首页×故存在使得,其中必有一子区间内包含中无限多个点，因为无限点集,故两个区间中至少有一个含有中无穷多个点,记此子区间为.把区间二等分，S[,]Sab],[baS0,M[,]SMM11[,][,]abMM22[,]ab1122[,][,]abab22111()2babaM应用区间套定理来证聚点定理．定理７.２(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理)实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.分析为有界点集，继续上述步骤，可得一区间套，再证其公共点即为的聚点.证为有界点集,记现将等分为两个子区间.且首页×则其中至少有一个子区间含有无穷多个点，再将等分为两个子区间，首页×22[,]ab33[,]ab2233[,][,]abab33221()22Mbaba,.nnab111[,][,],1,2,,20(),2nnnnnnnababnMban则取出这样的一个子区间，记为.将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列它满足且其中每一个闭区间都含中无穷多个点.即是区间套，,nnabS由区间套定理，存在唯一的一点,,1,2,.nnabn于是由定理7.1的推论，对任给的,存在00,N当时nN[,](;)nnabU从而内含有中无穷多个点，(;)US按定义2为的聚点.S推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列．证设为有界数列．nx若中有无限多个相等的项，nx则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的．首页×当有先证明是有界的.设数列满足柯西条件.点集至少有一个聚点，记为．存在的一个收敛子列（以为其极限）.于是按定义，则在数轴上的对应的点集必为有界无限点集，若数列不含有无限多个相等的项，作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性.首页×nxnxnx2nxnana11mNnN及11.nNaa11111|||||||||1.nnNNnNNNaaaaaaaa121max,,,,1,NNMaaaa故由聚点定理，证为此,取则存在正整数N，由此得令因而当时得到()kmnkK于是，由致密性定理，有界数列必有收敛子列首页×.nnaM均有na,lim.kknnkaaA且0,0,,,,KmnkK存在同有(),2nmaa由柯西条件||(lim).2kknnkaAaA由22kknnnnaAaaaAlim.nnaA则对一切正整数对任给的这就证明了使得当时有.对每一点，都可确定正数（它依赖于与），若其中开区间的个数是无限（有限）的，则称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．则称为的一个开覆盖，或称覆盖．若中任何一点都含在中至少一个开区间内，（即的每一个元素都是形如的开区间）．定义3设为数轴上的点集，为开区间的集合SHH(,)SHHSSHSH在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定．例如，若函数在内连续，f(,)ab则给定，0(;)xxUxxx(,)xab()()fxfx这样就得到一个开区间集,(,)xxHxxxab它是区间的一个无限开覆盖．(,)ab首页×同样，其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来盖．则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.将等分为两个子区间，从而导致区间套中某区间可用一个开区间覆盖的矛盾.若闭区间不能用有限个开区间覆盖，把这区间二等分，则从中可选出有限个开区间来覆盖．假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖．设为闭区间的一个（无限）开覆盖，首页×H,ab,abHH,ab,abH定理７.３（海涅—博雷尔（Heine—Borel）有限覆盖定理）分析用反证法，其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖，由此可构造区间套，其公共点属于某个开区间，证用反证法记这个子区间为，11,ab则且11,,abab111(),2baba再将等分为两个子区间，11,abH由区间套定理，存在唯一的一点于是，由定理７.１推论，当n充分大时有由于是的一个开覆盖，故存在开区间使．其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖．即是区间套，重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,记这个子区间为，首页×22,ab2211,,abab2221()2baba,nnab11,,,1,2,,1()0(),2nnnnnnnababnbaban,nnab,,1,2,.nnabnH[,]nnab(,),H(,)则且它满足H[,],,nnab定理７.３的结论只对闭区间成立，而对开区间则不一定