§2.1 微分方程的建立与求解(3.9)解析

上节内容复习系统模型数学表达式,系统方框图重点掌握由微分方程画系统方框图系统的分类线性时不变系统重点掌握线性时不变特性的定义与判断系统分析方法第二章连续时间系统的时域分析微分方程式的建立与求解零输入响应与零状态响应冲激响应与阶跃响应卷积及其性质系统数学模型的时域表示时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。元一阶微分方程状态变量描述阶微分方程一元输入输出描述::NN本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。系统分析过程变换（第八章）域变换（第四章）；傅立叶变换（第三章）变换域法利用卷积积分法求解零状态可利用经典法求零输入双零法形式有关的函数形式与激励函数特解：齐次方程及其各阶导数都为零的端激励满足高阶微分方程中右齐次解：经典法解方程网络拓扑约束根据元件约束列写方程ZStrtetrph:::)()()(,:经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决——h(t)；卷积积分法:任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)本章主要内容•线性系统完全响应的求解；•冲激响应h(t)的求解；•卷积的图解说明；•卷积的性质；•零状态响应：。thtftyzs•冲激响应h(t)的求解•卷积的图解说明•卷积的性质•零状态响应=f(t)h(t)重点难点§2.1系统微分方程的建立主要内容重点系统模型列写微分方程式n阶线性时不变系统的描述n阶线性时不变系统的描述一.物理系统的模型•许多实际系统可以用线性系统来模拟。•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。二.微分方程的列写•元件特性约束•网络拓扑约束（一）系统模型§2.1系统微分方程的建立列写微分方程式dttditvLdttdvRdttvdCs)()(1)(1)(22例1：列出下面系统的微分方程（1）输入is(t),输出v(t);dttdiLtvdttductiLLcc)()()()(根据KCLtitititiCLRS电感d1tLvLti这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。tvRtiR1is(t)RLCv(t)这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。例2msFf机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧tv牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为，外加牵引力为，其外加牵引力与刚体运动速度间的关系可以推导出为tFSftFSttFtkvttvfttvmddddddS22k例3如图所示互感电路，)(te为电压源激励信号，试列写电流)(1ti的微分方程式。-+teRRLLMti1ti2对于初次级分别列KVL方程，可以得到一对微分方程式：解：)2(0)()()()1()()()()(122211dttdiMdttdiLtRitedttdiMdttdiLtRi消元，得)Re()()()(2)()(12121222tdttdeLtiRdttdiRLdttidML此电路有两个动态元件，这是描述此系统的一元二阶微分方程（二）n阶线性时不变系统的描述激励信号)(te响应信号)(tr)()()()()()()()(1111011110teEdttdeEdttedEdttedEtrCdttdrCdttrdCdttrdCmmmmmmnnnnnn若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。（三）微分方程的求解（经典法）完全解r(t)＝齐次解rh(t)＋特解rp(t))()()()()()()()(1111011110teEdttdeEdttedEdttedEtrCdttdrCdttrdCdttrdCmmmmmmnnnnnne(t)给定的情况下，如何求r(t)?齐次解rh(t)：满足上式中右端激励项及其各阶导数项都为零的其次方程。特解rp(t)：特解的形式和激励函数形式有关。1、齐次解：方程右端为0时的解，是形如Aeαt函数的线性组合0)()()()(11110trCdttdrCdttrdCdttrdCnnnnnn令r(t)=Aeat，（1）式变为：（ai,i=1,2,…,n）称（2）式为微分方程的特征方程。其根称为特征根。Aieait将满足（1）式。01110nnnnCCCC（2）（1）01110atnatnatnatnAeCeACeACeAClitaiKKiKiKihiiiiieAtAtAtAtr1)1(2211)()(（2）有重根的情况下，假定1为特征方程的K重根：为待定系数，由初始条件决定。(1)特征根各不相同（无重根）：齐次解形式：(3)一般形式，ai为特征方程的Ki重根);,...,2,1(1nKliliitaniitnttineAeAeAeA12121rh(t)=tantaktaktaKtaKtaKtaKkneAeAeAeAteAetAetA13211112112211rh(t)=（1）将输入信号代入微分方程的右端，化简后右端的表达式称为“自由项”，观察自由项的形式，选择相应的特解形式。P46表2-2给出了几种典型激励函数所对应的特解表达式（2）把选择的特解表达式代入原微分方程，比较同类项系数求特解表达式中的待定系数，则得特解rp(t)2、特解:形式与激励信号e(t)的具体形式有关几种典型激励函数相应的特解激励函数e(t)响应函数r(t)的特解)(常数E)(常数Bpt1121ppppBtBtBtBtetBetcostsintBtBsincos21tttpsinetttpcosetDtDtDtDtBtBtBtBtpppptppppsinecose112111213、完全解r(t)＝rh(t)＋rp(t)＝)()(1)1(2211treAtAtAtAplitaiKKiKiKiiiiii)(1nKlii为待定系数，由初始条件决定。n个待定系数，需n个初始条件，r(0+),r(1)(0+),r(2)(0+),,…,r(n)(0+)例：给定微分方程)(6)(3)(tetrdttdr，如果已知e(t)=t2,5)0(r,求此系统的完全响应r(t)。1)齐次解2)特解3)完全解94342)(23ttAetrt代入初始条件5)0(r，得941A解：分别求齐次解和特解，再相加。thAetr3)(A为待定系数94342)(2tttrp94342941)(23ttetrt时域经典法求解：总结：齐次方程，求通解（自由响应）非齐次方程，求特解（受迫响应）代入起始条件求出待定系数（0＋时刻）齐次解:homogeneoussolution,表示系统的自由响应（naturalresponse）由系统自身特性所决定。特解:particularsolution，表示系统的强迫响应（forcedresponse），只与激励函数的形式有关。齐次解与特解的物理解释上节内容复习微分方程的建立根据元件特性及系统结构特性微分方程求解的经典法齐次解,特解总结将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于系统给定系统（电路)列写微分方程并化简特解激励信号完全解＝齐次解＋特解（Ai待定）系统0-状态系统0+状态系数Ai已定的完全解——系统的响应齐次解（Ai待定）taniiieA1电路分析知识高数知识新知识