数字通信原理_3：随机信号分析

2008CopyrightSCUTDT&PLabs1数字通信原理_3随机信号分析2008CopyrightSCUTDT&PLabs23.1、引言确定信号：变化特性完全确知的信号，如：当幅度、频率和相位为常数的余弦信号：随机信号：变化特性不能完全预知的信号，如：幅度、频率和相位三个参量中有一个或多个是随机变量的余弦信号。通信系统中的随机信号传输的信息是随机信号（如果是确定信号则不必传输）；各种自然界的干扰和噪声通常是随机信号。tAcos第三章随机信号分析A2008CopyrightSCUTDT&PLabs33.2、随机过程的统计特性随机过程的统计特性：随机过程的统计特性可由其分布函数、概率密度函数或其各阶矩的数字特征描述。随机过程的概念：随机过程可由有限各或无限多个实现构成，其每个实现可看作某一时间信号，如下图所示：其中随机过程通常用大写字母表示：X(t)；x1(t)，x2(t),……,xN(t)称为随机过程的实现；在某一时刻t1，随机过程实现的样值x1(t1)，x2(t1),……,xN(t1)为随机变量。第三章随机信号分析2008CopyrightSCUTDT&PLabs43.2、随机过程的统计特性随机过程的概念（续）：随机过程可由有限个或无限多个实现构成，其每个实现可看作某一时间信号，如：第三章随机信号分析0t随机过程t1X（t）x1（t）x2（t）x3（t）xN（t）2008CopyrightSCUTDT&PLabs53.2、随机过程的统计特性随机过程的分布函数和概率密度函数：一维分布函数：一维概率密度函数：第三章随机信号分析1111,xtXPtxF11111,,xtxFtxp2008CopyrightSCUTDT&PLabs63.2、随机过程的统计特性随机过程的多维分布函数和概率密度函数：n维分布函数：n维概率密度函数：第三章随机信号分析nnnnxtXxtXxtXPtttxxxF,...,,,...,,,,...,,22112121nnnnnxxxtttxxxFtttxxxp...,...,,,,...,,,...,,,,...,,21212121212008CopyrightSCUTDT&PLabs73.2、随机过程的统计特性数学期望（均值）：方差：自相关函数：dxtxxptXEtmX,第三章随机信号分析212121212121,,,,dxdxttxxpxxtXtXEttRXtdxtxptmxtXEtXEtXDXX222,2008CopyrightSCUTDT&PLabs83.2、随机过程的统计特性自协方差函数：归一化协方差（相关系数）：第三章随机信号分析21212121212211221121,,,,,tmtmttRdxdxttxxptmxtmxtmtXtmtXEttCXXXXXXXX212121,,ttttCttXXXX2008CopyrightSCUTDT&PLabs93.2、随机过程的统计特性两个随机过程的n＋m维联合分布两个随机过程的n＋m维联合概率密度函数：mmmmnnytYytYxtXxtXPtttyyytttxxxF,...,;,...,,...,,,,...,,;,...,,,,...,,11221121212121mnmmnnmmnnyyyxxxtttyyytttxxxFtttyyytttxxxp,...,,...,,...,,,,...,,;,...,,,,...,,,...,,,,...,,;,...,,,,...,,21212121212121212121第三章随机信号分析2008CopyrightSCUTDT&PLabs103.2、随机过程的统计特性两个随机过程独立的充要条件：对任意的n，m，有或有：mmnnmmnntttyyyFtttxxxFtttyyytttxxxF,...,,,,...,,,...,,,,...,,,...,,,,...,,;,...,,,,...,,2121212121212121mmnnmmnntttyyyptttxxxptttyyytttxxxp,...,,,,...,,,...,,,,...,,,...,,,,...,,;,...,,,,...,,2121212121212121第三章随机信号分析2008CopyrightSCUTDT&PLabs113.2、随机过程的统计特性两个随机过程的数字特征互相关函数互协方差函数第三章随机信号分析dxdytytxxyptYtXEttRXY212121,,,,21212121221121,,,,,tmtmttRdxdytytxptmytmxtmtYtmtXEttCYXXYYXYXXY2008CopyrightSCUTDT&PLabs123.3、平稳随机过程严（狭义）平稳随机过程：对任意n和满足如下关系式的随机过程称之。严平稳随机过程的统计特性不随时间的平移而改变。第三章随机信号分析nnnntttxxxptttxxxp,...,,,,...,,,...,,,,...,,212121212008CopyrightSCUTDT&PLabs133.3、平稳随机过程宽（广义）平稳随机过程：对满足如下关系式的随机过程称之。宽平稳随机过程的一阶矩为常数，二阶矩只与时间差有关。（注：宽平稳随机过程只涉及了其一阶、二阶矩的统计特性）第三章随机信号分析1221,ttRttRmtXEXXX常数2008CopyrightSCUTDT&PLabs143.3、平稳随机过程平稳随机过程相关函数的性质第三章随机信号分析tXERX20XXRR0XXRR2008CopyrightSCUTDT&PLabs153.3、平稳随机过程平稳随机过程相关函数的性质（续）第三章随机信号分析TtRRTtXtXXX0limlimlim0lim0tXEtXEtXtXERRtXEXX2008CopyrightSCUTDT&PLabs163.3、平稳随机过程联合宽平稳随机过程：若X(t)、Y(t)是宽平稳随机过程，且有：则称X(t)、Y(t)为联合宽平稳随机过程。第三章随机信号分析122121,,ttRtYtXEttRXYXY2008CopyrightSCUTDT&PLabs173.3、平稳随机过程：遍历性随机过程的各态历经性（遍历性）的概念：随机过程的任一实现（样函数）可能包含了其它实现的某些统计特性。均值遍历过程定义随机过程某一实现的时间平均值：若则称X(t)为均值遍历过程。第三章随机信号分析TTTdttxTtx21lim1txtXEP2008CopyrightSCUTDT&PLabs183.3、平稳随机过程:遍历性自相关遍历过程定义随机过程某一实现的时间平均自相关值：若则称X(t)为自相关遍历过程。第三章随机信号分析TTTdttxtxTtxtx21lim1txtxRPX2008CopyrightSCUTDT&PLabs193.3、平稳随机过程：遍历性严（窄义）遍历过程：X(t)的所有概率统计特性（任意阶次的矩）与相应的时间统计值以概率为1相等的随机过程。宽（广义）遍历过程：X(t)的均值和自相关函数为遍历的随机过程。宽遍历过程仅仅对一阶和二阶矩有遍历的要求。通信系统中未加声明时遍历过程通常指宽遍历过程。遍历过程一定是平稳过程，反之未然。第三章随机信号分析2008CopyrightSCUTDT&PLabs203.3、平稳随机过程:功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度设随机过程X(t)的一个实现为x(t),其截短函数为：随机过程X(t)的功率密度谱：第三章随机信号分析TTFTtTttxtx220TFETFEPTTTTX22limlim2008CopyrightSCUTDT&PLabs213.3、平稳随机过程:功率谱密度维纳－辛钦定理：平稳随机过程的自相关函数与功率密度谱互为傅氏变换对。即有：（详细证明参见教材）dePRdeRPjXXjXX21XXPR第三章随机信号分析2008CopyrightSCUTDT&PLabs223.3、平稳随机过程:功率谱密度平稳随机过程功率谱密度的性质：X(t)为实平稳随机过程，则：dRPdPtXERPXXXXX021002XXXXPPRR第三章随机信号分析2008CopyrightSCUTDT&PLabs233.4、高斯随机过程一维高斯（正态）分布：222exp21axxp第三章随机信号分析2008CopyrightSCUTDT&PLabs243.4、高斯随机过程高斯分布的统计特性均值：方差：高斯分布的特点：全部统计特性由其均值和方差确定。（注意上图中均值和方差的涵义）aXE22XEXE第三章随机信号分析a22008CopyrightSCUTDT&PLabs253.4、高斯随机过程高斯随机过程：随机过程的任意n维概率密度具有如下的正态分布特性的随机过程称之。njnkkkkjjjjknnnnaxaxBBBtttxxxp1121212212121exp...21,...,,,,...,,第三章随机信号分析2008CopyrightSCUTDT&PLabs263.4、高斯随机过程高斯随机过程（续）：参数的涵义：kjkkjjjknnnnatXatXEbbbbbbbB,1..................1...121221112第三章随机信号分析的代数余子式的关于元素jkjkkkkkkbBBatXEtXEa2,B2008CopyrightSCUTDT&PLabs273.4、高斯随机过程高斯随机过程（续）：高斯随机过程的特点：其统计特性完全由其一维、二维统计值：完全确定。kjkkjjjkatXatXEb第三章随机信号分析2,kkkkkatXEtXEa2008CopyrightSCUTDT&PLabs283.4、高斯随机过程高斯随机过程的性质：（1）宽平稳与严平稳等价。对于宽平稳过程，其一阶、二阶的统计值满足：对高斯过程，其统计特性完全由其一阶、二阶统计值确定，所以宽平稳的高斯随机过程与严平稳的高斯过程等价。jijkjijkttbttb,第三章随机信号分析kkatXE2008CopyrightSCUTDT&PLabs293.4、高斯随机过程高斯随机过程的性质：（2）不相关与独立等价。若随机变量两两不相关