第四章 最优资产组合

INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUSCopyright©2011byTheMcGraw-HillCompanies,Inc.Allrightsreserved.McGraw-Hill/Irwin第四章最优资产组合选择INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-2投资过程的两个重要任务一、评估评估所有可能的投资工具的风险和期望回报率特性二、构建组合从可行的投资组合中确定最优的风险-回报机会，然后决定最优的证券组合——最优证券组合理论选择的目标•使得均值-标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大•均值-标准差平面上的可行集选择的对象INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-3投资的收益与风险投资者将考虑:–无风险资产–有正的风险溢价的投资品投资组合的吸引力随着期望收益的增加和风险的减少而增加。INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-4无风险资产•只有政府可以发行无违约风险的债券。–实际中无风险资产是一种指数化债券，只有在投资期限等于投资者愿意持有的期限时才能对投资者的实际收益率进行担保。•短期国库券被看做无风险资产。•实际操作中，货币市场基金也被看做无风险资产。INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-5•通过在无风险资产和风险资产之间合理分配投资基金，有可能建立一个完整的资产组合。–假设分配给风险资产P的比例为w–分配给无风险资产F的比例是(1-w）单一风险资产与单一无风险资产的投资组合INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-6•单一风险资产与单一无风险资产的投资组合投资比例期望收益方差标准差无风险资产1-w00风险资产wfrr2r(r)EINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-7单一风险资产与单一无风险资产的投资组合完整的资产投资组合的期望收益率=无风险资产收益率+风险资产的比例×风险资产的风险溢价(1)pfErwErwrpffErrwErr风险溢价无风险资产收益率INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-8单一风险资产与单一无风险资产的投资组合•完整资产投资组合的风险是风险资产的比例乘以其风险:•夏普比率•fpfpErrErrpwfErrINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS•在“期望收益-标准差”平面中对应着一条直线，穿过无风险资产rf和风险资产r，我们称这条直线为资本配置线（CapitalAllocationLine）fpfpErrErr单一风险资产与单一无风险资产的投资组合INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所增加的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因此，我们有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率单一风险资产与单一无风险资产的投资组合INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-11单一风险资产与单一无风险资产的投资组合假设存在一组资产组合,它由一个风险资产和一个无风险资产组成。两种资产的收益率分别为15%,7%。风险资产的标准差为22%.(1)请画出资本配置线(2)请求当y=0.4,A=4时，投资者的效用。INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-12单一风险资产与单一无风险资产的投资组合INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-13风险厌恶系数A=4的投资者不同风险资产比例y带来的效用值INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS6-14效用值关于风险资产比例y的函数INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS15总效用总效用是消费者在一定时间内从一定数量的商品的消费中所得到的效用量的总和。)Q(fTUINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS16总效用商品数量总效用01234567010182428303028INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS17边际效用边际效用是在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量Q)Q(TUMUINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS18总效用商品数量总效用边际效用012345670101824283030281086420-2INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS19总效用总效用曲线与边际效用曲线之间的关系：（1）总效用曲线上任意一点的边际效用，是过该点切线的斜率值。（2）当MU0时,TU↗;当MU=0时,TU最大;当MU0时,TU↘。INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUSMaximumUtility[]pwrffE(r)rE()r222pσyσppwwrw222ffE(r)0.5Aσr[E()r]0.5AσMaxUrw*f2E()rAσINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS7-21两个风险资产构成的资产组合债券的权重债券的收益率股票的权重股票的收益率资产组合的收益率PortfolioReturnBondWeightBondReturnEquityWeightEquityReturnpDEDEPDDEErrwrwrwwrr()()()pDDEEErwErwErINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS7-22=基金D和基金E收益率的协方差=两个资产构成的资产组合:风险EDEDEEDDrrCovEDrrCov,()[r][r]DDEEEpE情境2pnnijijijINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS7-23D,E=收益率的相关系数Cov(rD,rE)=DEDE协方差22222p2DDEEDEDEDEINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS7-24从协方差矩阵计算的资产组合的方差INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS7-251,2值的范围+1.0-1.0如果=1.0,资产间完全正相关如果=-1.0,资产间完全负相关相关系数:可能的值INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w，则投资组合的期望收益和标准差为：222222222,(1)(1)2(1)(,)(1)2(1)pSBpSBSBSBSBSBErwErwEr两个风险资产的组合INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS或者根据上式，可以求得方差最小时两种资产的比重对上式求导，根据微积分中求极小值的方法，使导数为零。即可求得W二、两个风险资产的组合222cov2covsbsbwINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS现有一个由债券与股票组合的投资组合。它们的描述性统计如下.(1)请写出协方差矩阵，(2)计算并画出投资组合可行集.(3)求方差最小时的比重例题债券股票期望收益（%）813标准差（%）1220协方差0.72相关系数0.3INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS1、协方差矩阵：例题证券债券股票债券14460股票60400INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS2、改变证券所占比重例题WEWDEϭ018121440.10.98.510.98362417120.640.20.8910.4108.160.30.79.510.32279032106.560.40.61010.76289924115.840.50.510.511.661903791360.60.41112.92439554167.040.70.311.514.4554488208.960.80.21216.17899873261.760.90.112.518.03995565325.44101320400INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS3、计算最小方差时的比重=0.8019例题222cov2covsbsbwINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS同样，容易得到，两个风险资产构成的资产组合的期望和标准差之间的额关系式：其中：22()()pppaErbErc22,222,22222,22222SBSBSBSBSSBBSBSBSBSBBSSBBSSBSBSBaErErErErErErbErErErErErErcErEr二、两个风险资产的组合INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS•情形一•此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们容易得到：,1SB22(1)(1),01()PSBpSBSBpPBBSBpBPS如果二、两个风险资产的组合pBPSEEwEEINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS•命题1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。•证明：1211112121211122212121212122212121()(1)()/()()(1)(1)ppppppppp－－－INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线段，即为完全正相关的两种风险资产可行集。11(,)r22(,)rprpINVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS情形二•此时，两个资产的收益率是完全负相关的，类似可以得到：,1SB22(1)(),(),PSBSBBSBBSBSBpSBBSBBSBSBwwErErErwErErErErw当时当时二、两个风险资产的组合INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS2.两种完全负相关资产的可行集•两种资产完全负相关，即ρ12=-1，则有111122222p111121112111221p11221p111121221p1121112()(1)()(1)2(1)|(1)|()0()(1)()(1)prwwrwr当时,当时，当时，INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS命题2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：21122p111121122212121212122212121()(1)()(1)ppppppp情形：INVESTMENTS|BODIE,KANE,MARCUS21121121112122212122()(1)()pppp情形：，同理可证122212rrr22(,)r11(,)rprpIN