第四章 根轨迹法

第二部分古典控制理论基础习题详解四根轨迹法29四根轨迹分析法2-4-1设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。jjjjjj题2-4-1图【解】：jjjjjj题2-4-1解图2-4-2设负反馈系统的开环传递函数分别如下：（1）)1)(5.0)(2.0()(sssKsG（2）)12()1()(sssKsG（3）)52()2()(2sssKsG（4）)136)(5)(1()(2ssssKsG试绘制K由0变化的闭环根轨迹图。第二部分古典控制理论基础习题详解四根轨迹法30【解】：（1）系统有三个开环极点1,5.0,2.0321ppp。①0,3mn，有三条根轨迹，均趋于无穷远。②实轴上的根轨迹在区间2.0,5.01,(。③渐近线2,1,0180,6031801257.0315.02.0kk④分离点。方法一由0)()()()(sQsPsQsP得33.0,8.008.04.332,12sss8.01s不在根轨迹上，舍去。分离点为33.0。分离点处K值为014.0)()(33.0ssPsQK方法二特征方程为：01.08.07.123Ksss重合点处特征方程：0)2()2()()(22232basaabsbasbsas令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。⑤根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为01.08.07.1)(23KssssD方法一令js，得26.18.001.07.108.001.08.07.12323KKKjj方法二将特征方程列劳斯表为KsKsKss1.07.11.08.01.07.18.010123令1s行等于0，得26.1K。代入0s行，得辅助方程8.0036.17.12,12jss⑥系统根轨迹如题2-4-2（1）解图所示。j189.0j题2-4-2（1）解图第二部分古典控制理论基础习题详解四根轨迹法31（2）①根轨迹方程01)5.0()1(2sssK开环零点11z，开环极点5.0,021pp。②实轴上的根轨迹区间]0,5.0[]1,(。③分离会合点方法一sssQssP5.0)(1)(271.1,29.022105.020)5.02)(1(5.00)()()()(2,122ssssssssQsPsQsP71.1,29.0均在根轨迹上，29.0为分离点，71.1为会合点。85.517.0)()(2212,1ddssKKsPsQK方法二系统特征方程：05.0)1(5.02KsKs重合点处特征方程：02)(222aassas联立求解重合点坐标：17.029.0,85.571.15.0)1(5.02212KasKasKaKa④可以证明复平面上的根轨迹是以1为圆心，以22为半径的圆（教材已证明）。根轨迹如题2-4-1（2）解图所示。（3）①开环零点,21z开环极点212,1jp。②实轴上的根轨迹区间为]2,(③分离点014)()()()(2sssQsPsQsP24.0,24.4522,1s题2-4-2（3）解图24.41s为分离点，24.02s不在根轨迹上，舍去。j15.05.0j题2-4-2（2）解图4.153j2j21题2-4-2（3）解图第二部分古典控制理论基础习题详解四根轨迹法32分离点K值47.6)()(24.4ssPsQK④出射角4.153)2121()221(1801jjjP4.153)2121()221(1802jjjP⑤复平面上的根轨迹是圆心位于)0,2(j、半径为5的圆周的一部分，如题2-4-1（3）解图所示。（4）①四个极点23,5,14,321jppp。②渐近线)3,2,1,0(315,225,135,454180)12(343351kk③实轴上的根轨迹区间为]1,5[。④分离点)136)(5)(1()(1)(2sssssQsP0)3(20108108364)()()()(323sssssQsPsQsP得33,2,1s，均为分离点，16K。分离角454180正好与渐近线重合。⑤出射角90)2323()123()523(1803jjjjP904P⑥根轨迹与虚轴的交点34032,1K⑦系统根轨迹如题2-4-1（4）解图所示。2-4-3已知单位负反馈系统的开环传递函数为：22)4()1()(ssKsG试绘制K由j513j3j题2-4-2（4）解图第二部分古典控制理论基础习题详解四根轨迹法330变化的闭环根轨迹图，并求出使系统闭环稳定的K值范围。【解】：系统有两对重极点4,14,32,1pp。①渐近线5.244411)3,2,1,0(315,225,135,454180)12(kk②实轴上的根轨迹为两点51ss，也为分离点。分离角均为902180。③根轨迹与虚轴的交点坐标系统特征方程0)2()1(22Kss即0412136234Kssss令js代入特征方程，得0412136234Kjj令上式实部虚部分别等于0，则有18201260413224KK④该系统根轨迹如题2-4-3解图所示。由图可知，当180K时，闭环系统稳定。2-4-4已知单位负反馈系统的开环传递函数为)15.0)(1()(sssKsG（1）试绘制K由0变化的闭环根轨迹图；（2）用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调时的K值范围；（3）为使系统的根轨迹通过11j两点，拟加入串联微分校正装置)1(s，试确定的取值。【解】：（1）)2)(1(2)(sssKsG，根据一般根轨迹绘制法则求得①渐近线与实轴的交点：1渐近线倾角：300,180,60。②实轴上的根轨迹在区间]0,1][2,(。③分离点：舍去）(58.1,42.02,1s。19.0K15.22j2jj4题2-4-3解图12j2j2j题2-4-4解图第二部分古典控制理论基础习题详解四根轨迹法34④根轨迹与虚轴的交点坐标：3,2Kjs。⑤该系统根轨迹如题2-4-4解图所示。（2）系统的阶跃响应不出现超调的条件是特征根在左半平面的实轴上。根轨迹在实轴上的分离点的K值已由（1）求得，所以在19.00K时系统不产生超调。（3）串联微分校正环节)1(s后系统的开环传递函数变为)2)(1()1(2)15.0)(1()1()(ssssKssssKsG系统特征方程为0)1(2)2)(1(sKsss若js1是根轨迹上的点，则必满足特征方程。代入特征方程，得：1102202202222KKKKKKKjj2-4-5已知单位负反馈系统的闭环传递函数为16)(2assassG（1）试绘制参数a由0变化的闭环根轨迹图；（2）判断),3(j点是否在根轨迹上；（3）由根轨迹求出使闭环系统阻尼比5.0时a的值。【解】：（1）系统的特征方程为011601622sasass等效开环传递函数为：16)(2sassG，a由0变化为一般根轨迹。①开环零点0z，开环极点42,1jp。②实轴上的根轨迹在区间]0,(。③分离点由0)()()()(sQsPsQsP得0162s解得41s为分离点，42s不在根轨迹上，舍去。81K。④共轭复根的出射角180180)44()4(18021ppjjj⑤复平面的根轨迹是圆心位于)0,0(j、半径为4的圆周的一部分，如题2-4-5解图题2-4-5解图22j2j44j4jjAs60Bs第二部分古典控制理论基础习题详解四根轨迹法35所示。（2）把),3(j代入相角条件中，若满足则是根轨迹上的点，反之则不是。)2,1,0()12()()(11kkpszsnjjmii)12(240109150)33180()35180()31180()33()53()3()4()41113ktgtgtgjjjjsjssjs点),3(j不在根轨迹上。（3）求5.0等超调线与根轨迹的交点方法一60，设等超调线与根轨迹交点As坐标实部为，则3,jsBA，有162)3)(3(2assjsjs令等式两边s各次项系数分别相等，得4216422aa方法二由特征方程01622ass，按照典型二阶系统近似计算得：442162aannn另外，把nnnnjjs87.05.012代入特征方程也可求得同样结果。2-4-6已知单位负反馈系统的开环传递函数为)1(4/)()(2ssassG（1）试绘制参数a由0变化的闭环根轨迹图；（2）求出临界阻尼比1时的闭环传递函数。【解】：（1）系统特征方程为01)144(04401)1(4)(2232sssaasssssas第二部分古典控制理论基础习题详解四根轨迹法36等效开环传递函数为：22)5.0(25.0)144()(ssasssasGa由0变化为一般根轨迹。①开环极点5.0,03,21pp。②渐近线与实轴的交点：31，渐近线倾角：300,180,60。③实轴上的根轨迹在区间]0,(。④分离点由0)()()()(sQsPsQsP得025.0232ss解得5.01s为起点，17.0612s为分离点。074.0a。⑤根轨迹与虚轴的交点令js，代入特征方程得15.0025.0025.0025.025.02323aaajj⑥该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。（2）1时，对应实轴上根轨迹的分离点，074.0,612,1as。因为23mn，可由开环极点之和等于闭环极点之和求得另一实轴上的极点坐标645.05.017.017.033系统闭环传递函数为2232322)61)(64(4074.007.04407.044)1(4/)(1)1(4/)()(sssssssasssasssasssassGB2-4-7已知单位负反馈系统的开环传递函数为：)25.01()5.01()(sssKsG（1）试绘制K由0变化的闭环根轨迹图；（2）求出使系统产生相重实根和纯虚根时的K值。【解】：（1）根轨迹方程为1)4()2(21)25.01()5.01()(sssKsssKsGK由0变化，为0根轨迹。j05.015.0j5.