第一节 联合分布与边缘分布

多维随机变量及其分布第一节联合分布与边缘分布引言从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.引言一般地,设是一个随机试验,它的样本空间是设是定义在上的随机变量,由它们构成的一个维向量叫做维随机向量或维随机变量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.引言一、二维随机变量的分布函数)()(xXPxFxX的分布函数一维随机变量如果对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数,或者称为随机变量和的联合分布函数.定义1设是二维随机变量,将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释一、二维随机变量的分布函数随机点落在矩形域概率为一、二维随机变量的分布函数xyOYX,1x2xyyx,1yx,2:,的性质分布函数yxFYX,一、二维随机变量的分布函数OxyyYX,XYyx,xyx,x一、二维随机变量的分布函数即F(x,y)关于x,y是右连续的。4.对任意的一、二维随机变量的分布函数二、二维离散型随机变量或随机变量X和Y的联合分布律.k=1,2,…离散型一维随机变量XX的分布律为k=1,2,…定义2限对或无限可列多对,则称是离散型随机变量.设二维离散型随机变量可能取的值是记如果二维随机变量全部可能取到的值是有称之为二维离散型随机变量的分布律,也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律.二、二维离散型随机变量二维离散型随机变量的分布律具有性质二维离散型随机变量的联合分布函数为：二、二维离散型随机变量例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=3}=3/8=3/8二、二维离散型随机变量.),(.~1,4,3,2,1的分布律试求整数值中等可能地取一在另一个随机变量取值四个整数中等可能地在设随机变量YXXYX解:},{的取值情况是jYiX,4,3,2,1i.的正整数取不大于ij且由乘法公式得},{jYiXP}{}{iXPiXjYP,411i,4,3,2,1i.ij的分布律为于是),(YX例2二、二维离散型随机变量XY12341234418112116108112116100121161000161二、二维离散型随机变量例3一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.(X,Y)的可能取值为),2,1(,312231}2,1{YXP,312132}1,2{YXP.312132}2,2{YXP解),1,2().2,2(122二、二维离散型随机变量故(X,Y)的分布律为XY21213103131,31,022211211pppp下面求分布函数.二、二维离散型随机变量2112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(,11)1(时或当yx),(yxF),(yxF,21,21)2(时当yx,2,21)3(时当yx),(yxF},{yYxXP;011p;01211pp;31二、二维离散型随机变量,21,2)4(时当yx;31),(2111ppyxF,2,2)5(时当yx),(yxF22122111pppp.12112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(二、二维离散型随机变量所以(X,Y)的分布函数为,21,2.2,2,1,2,21,31,11,0),(yxyxyxyxyxF或或二、二维离散型随机变量连续型一维随机变量XX的概率密度函数1)(dxxfxtdtfxFx0)(xfRxxf,fxy函数称为二维定义3对于二维随机变量的分布函数,,Fxy则称是连续型的二维随机变量,（X,Y)的概率密度,随机变量存在非负的函数如果任意有使对于称为随机变量X和Y的联合概率密度.或三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度的性质:;0,.1yxf2,1;Rfxydxdy2.,1;fxydxdy表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.,1dd),(yxyxf.),(,表示空间的一个曲面几何上yxfz注：;,,,.3dxdyyxfGYXPxOyGG则有平面上的区域是设yxyxFyxf),(),(2在f(x,y)的连续点,.4三、二维连续型随机变量注：,dd),(}),{(GyxyxfGYXP.),(,}),({为顶面的柱体体积以曲面为底的值等于以yxfzGGYXP三、二维连续型随机变量例4设(X,Y)的概率密度是(2)求分布函数(3)求概率.(1)求常数A;解(1)由可得A=2.Ouvyyx,xOuvyyx,x积分区域区域解(2)三、二维连续型随机变量Ouvyyx,xOuvyyx,x三、二维连续型随机变量当时,故当时,三、二维连续型随机变量(3)三、二维连续型随机变量例5设随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中A,B,C为常数.(1)确定常数A,B,C；(2)求P(X2);(3)求(X,Y)的联合密度函数。三、二维连续型随机变量解(1)三、二维连续型随机变量(2)(3)三、二维连续型随机变量四、课堂练习设随机变量(X,Y)的概率密度是(1)确定常数(2)求概率三、二维连续型随机变量解(1)xyo24故2三、二维连续型随机变量xyo13242(2).三、二维连续型随机变量二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数而和都是随机变量,也有各自的分布函数,分别记为变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机四、边缘分布一、边缘分布函数一般地，对离散型r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为:X和Y的联合分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律四、边缘分布(X,Y)关于Y的边缘分布律为:离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为:四、边缘分布;,2,1,}{1ipxXPjiji.,2,1,}{1jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.四、边缘分布例6已知下列分布律求其边缘分布律.XY1049164912491249910四、边缘分布XY1042124212421242610}{iixXPp}{jjyYPp注意联合分布边缘分布解747317473四、边缘分布解1098765432112232424340111121112例7.,.)(,)(.10,,3,2,1并求边缘分布律的联合分布律和试写出的素数的个数是能整除的正整数的个数是能整除设一个值十个值中取等可能地在一整数FDNNFFNNDDN:布律的联合分布律与边缘分和由此得FD样本点DF四、边缘分布Dkp4321101104102103Fkp21010110710243211010000104102101000102DF}{jFP101107102}{iDP1011041021031或将边缘分布律表示为012四、边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布四、边缘分布.),(,d),()(,d]d),([),()(),,(),,(的边缘概率密度关于称其为随机变量记由于密度为设它的概率对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX定义同理可得Y的边缘分布函数.d),()(xyxfyfYY的边缘概率密度.,dd),(),()(yYyxyxfyFyF四、边缘分布.)(),(.,0,,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度其他具有联合概率密度和设随机变量解yyxfxfXd),()(,10时当xxy2xyOxy)1,1(yyxfxfXd),()(xxy2d6例8四、边缘分布).(62xx,10时或当xx.0d),()(yyxfxfX.,0,10),(6)(2其他因而得xxxxfXxy2xyOxy)1,1(四、边缘分布,10时当yxyxfyfYd),()(,10时或当yy.0d),()(xyxfyfY.,0,10),(6)(其他得yyyyfYyyxd6).(6yyxy2xyOxy)1,1(四、边缘分布=5c/24=1,c=24/5dxdyyxf),(解：(1)100[(2)]xcyxdydxdxxxc10222]/)([求(1)c的值；（2）两个边缘密度。(2),01,0(,)0,cyxxyxfxy其它例9设(X,Y)的概率密度是四、边缘分布解:(2)xXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10xxy01y=x求(1)c的值；（2）两个边缘密度。(2),01,0(,)0,cyxxyxfxy其它例9设(X,Y)的概率密度是四、边缘分布解:(2)),2223(5242yyy1)2(524)(yYdxxyyf10yxy01y=x求(1)c的值；（2）两个边缘密度。(2),01,0(,)0,cyxxyxfxy其它例9设(X,Y)的概率密度是四、边缘分布即212(2),01()50,Xxxxfx其它2243(2),01()5220,Yyyyyfy其它四、边缘分布练习设(X,Y)的概率密度是求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度.四、边缘分布xyxxy0xx解当时,当时,故四、边缘分布当时,当时,故四、边缘分布设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布.向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.五、常见分布——二维均匀分布若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布.其中均为常数,且记作（X,Y）～N().,x,y212221122122212211(),exp2121()()()2xμfxyσρπσσρxμyμyμρσσσ五、常见分布——二维正态分布例10试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解因为所以五、常见分布——二维正态分布则有五、常见分布——二维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数.同理可见由边缘分布一般不能确定联合分布.也就是说,对于给定的不同的对应不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都