第二章稳态热传导

本章具体内容安排：2.1导热基本定律----傅里叶定律2.2导热问题的数学描述2.3典型导热问题的分析解2.4通过肋片的导热2.5具有内热源的导热要解决工程技术中的传热问题（传热强化、传热削弱及温度控制），必须解决以下问题：1.准确计算研究过程传递的热量；2.准确预测物体中的温度分布；在对传热过程的物理机理认识的基础上，通过一定的数序处理2.1导热基本概念及基本定律1.导热的基本概念：1）温度场在τ时刻，物体内所有各点的温度的分布称为该物体在该时刻的温度场。一般温度场是空间坐标和时间坐标的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为：t=f（x，y，z，t）稳态温度场：温度不随时间变化的温度场，其中的导热为稳态导热非稳态温度场：温度随时间变化的温度场，其中的导热为非稳态导热2)等温面与等温线等温面（或等温线)的特征：在同一时刻，温度场中由温度相同的点连成面（线）称为等温面（或等温线）。温度场可用一组等温面或等温线表示.1）等温面（或等温线）不能相交；2）等温面（或等温线）或封闭，或终止于物体的边界，不可能在物体中中断；T形铸件浇注后10.7min时断面等温线3)温度梯度ntnntngradtlim温度场中任意一点的温度沿等温面（线）法线n方向的增加率称为该点的温度梯度,记为gradt。温度梯度是矢量，指向温度增加的方向在直角坐标系中的温度梯度为：kztjytixtgradt3)热流密度kqjqiqqzyxqddA导热热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q表示，ndAdq在直角坐标系中,热流密度矢量可以表示为：负号表示q的方向与n的方向相反，也就是和温度梯度的方向相反式中的qx、qy、qz分别是热流密度矢量q在三个坐标方向的分量的大小2.导热基本定律---Fourier导热定律xtqxytqy)(kztjytixtgradtq傅里叶在对导热过程进行大量实验研究的基础上,发现了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系,于1882年提出了著名的导热基本定律—傅里叶定律。傅里叶定律的数学表达式为：傅里叶定律表明：导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。标量形式的傅里叶定律的数学表达式为：ztqzFourier导热定律的应用傅里叶定律的适用条件：由傅里叶定律可知：要计算通过物体的导热热流量,除了需要知道物体材料的热导率之外,还必须知道物体的温度场。所以,求解温度场是导热分析的主要任务。1.傅里叶定律只适用于各向同性物体；2.在各向异性物体中,热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的方向性有关,因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。对各向异性物体中导热的一般性分析比较复杂，本书不作探讨。3导热系数（又称“热导率”）导热系数是物质的重要热物性参数,表示该物质导热能力的大小。根据傅里叶定律的数学表达式有：gradtq热导率在数值上等于温度梯度的绝对值为1K/m时的热流密度值绝大多数材料的热导率值都可通过实验测得的。导热系数的影响因素较多,主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态,温度、密度、湿度等因素对热导率也有较大的影响。一些典型材料的导热系数注：多孔材料的导热系数一般指它的表观导热系数,或称作折算导热系数2.2导热问题的数学描述热传导研究的重要任务就是确定导热物体内部的温度分布，即确定t=f(x,y,z,t)的具体函数关系。直接利用Fourier定律可以计算简单形状物体的导热问题，如：稳定的平板导热、圆筒壁导热、球壁导热中的热流和温度分布对复杂几何形状和不稳定情况下的导热问题，仅用Fourier定律往往无法解决，必须以能量守恒定律和Fourier定律为基础，建立导热微分方程式，然后结合具体条件求得导热体内部的温度分布。2.2.1导热微分方程引入假设条件：1.导热体（固体或静止流体）由各向同性的均匀材料组成；2.材料的热导率λ、密度ρ和比热Cp都是常数；3.导热体内部存在热源（如电热元件、凝固潜热等）导热微分方程式的导出分下面几个步骤:(1)根据物体的形状,选择合适的坐标系,选取物体中的微元体作为研究对象；(2)分析导热过程中进、出微元体边界的能量及微元体内部的能量变化；(3)根据能量守恒定律,建立微元体的热平衡方程式；(4)根据傅里叶定律及已知条件,对热平衡方程式进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式导热微分方程推导根据能量守恒定律：[微元体热量的积累]=[导入微元体的热量]-[导出微元体的热量]+[微元体内热源产生的热量]dxdydzttCpdxdyztdzdxytdydzxt导热微分方程推导微元体热量的积累为：导入微元体的热量为：导出微元体的热量为：dxdydzzttzdzdxdyyttydydzdxxttx)()()(微元体内热源生成的热量为：dxdydz][dxdyztdzdxytdydzxtdxdydzttCp[微元体热量的积累]=[导入微元体的热量]-[导出微元体的热量]+[微元体内热源产生的热量]dxdydz])()()([dxdydzzttzdzdxdyyttydydzdxxttx可得：ztzytyxtxtc导热微分方程式导热微分方程建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。1）当导热系数为常数时,导热微分方程式可简化为：cztytxtct222222或写成ctat2式中,2是拉普拉斯算子,在直角坐标系中有：2222222ztytxttca称为热扩散率或热扩散系数,也称导温系数,单位为m2/s。热扩散率a是对非稳态导热过程有重要影响的热物性参数，其大小反映物体被瞬态加热或冷却时物体内温度变化的快慢。导热微分方程式简化：2）当为常数，无内热源时,导热微分方程式可简化为：222222ztytxtct或写成tat2导热微分方程式简化：3）常物性、稳态导热时,导热微分方程式可简化为：0222222ztytxt0222222ztytxt4）常物性、无内热源，稳态导热时,导热微分方程式可简化为：柱坐标和球坐标系下导热微分方程：柱坐标系下的导热微分方程：ztztrrtrrrtc211球坐标系中的导热微分方程式为：trtrrtrrrtc22222sin1sinsin112.2.2导热微分方程的定解条件•导热微分方程在推导过程中没有涉及导热过程的具体特点,所以它适用于无穷多个的导热过程,也就是说它有无穷多个解。•为了完整的描写某个具体的导热过程，除了给出导热微分方程式之外,还必须说明导热过程的具体特点,即给出导热微分方程的单值性条件或定解条件，使导热微分方程式具有唯一解。单值性条件一般包括:几何条件、物理条件、初始条件、边界条件2.2.2导热微分方程的定解条件1.几何条件2.物理条件3.初始条件4.边界条件说明参与导热过程的物体的几何形状及尺寸的大小说明导热物体的物理性质,例如给出热物性参数(、、c等)的数值及其特点。说明导热过程进行的时间上的特点,例如是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热过程,还应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律。说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用。导热问题的三类边界条件1.第一类边界条件给出物体边界上的温度分布及其随时间的变化规律,,,wzyxft2.第二类边界条件给出物体边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律,,,wzyxfq3.第三类边界条件给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数hwwntqfwwtthnt2.3典型一维稳态导热问题的分析解单层平壁的导热多层平壁的导热圆筒壁的导热dtdx2202.3.1通过平壁的导热1.单层平壁的导热导热微分方程式为：边界条件为：平壁的稳态导热假设平壁的表面面积为A、厚度为、热导率为常数、无内热源，平壁两侧表面分别保持均匀恒定的温度tw1、tw2，且tw1tw2。选取坐标轴x与壁面垂直x=0,t=tw1x=,t=tw2积分求解得平壁内的温度分布为：xtttt2w1w1w单层平壁的导热平壁的稳态导热当热导率为常数时,平壁内的温度呈线性分布,温度分布曲线的斜率为：1w2wttdxdt通过平壁的热流密度可由傅立叶定律得出：2w1wttdxdtq通过整个平壁的热流量为：RttAttttAAq2w1w2w1w2w1w单层平壁导热问题例题讲解[例1]一窑炉的耐火硅砖炉墙为厚度δ＝250mm的硅砖。已知内壁面温度t1＝1500℃，外壁面温度t2＝400℃，试求每平方米炉墙的热损失。解：从附录C查得，对硅砖＝0.93＋0.0007，于是每平方米炉墙的热损失为：)/(60.1)/()24001500(0007.093.0CmWCmW2221/7040/25.0)6731773(60.1)(mWmWTTqt教材P50：例2-12.多层平壁的导热三层平壁的稳态导热运用热阻的概念分析假设：三层平壁材料的热导率分别为1、2、3,且为常数,厚度分别为1、2、3，各层之间的接触非常紧密,因此相互接触的表面具有相同的温度,分别为tw2、tw3,平壁两侧外表面分别保持均匀恒定的温度tw1、tw4。根据单层平壁稳态导热的计算公式有:12w1w112w1wRttAtt23w2w223w2wRttAtt34w3w334w3wRttAtt由以上三式可得:3214w1w3322114w1wRRRttAAAtt对于n层平壁的稳态导热有：niinRtt11w1w1.单层圆筒壁的导热导热微分方程式0][drdtrdrd边界条件r=r1，t=tw1r=r2，t=tw22.3.2通过圆筒壁的导热可得圆筒壁内的温度分布为:1212w1w1wlnlnrrrrtttt根据傅立叶定律,沿圆筒壁r方向的热流密度为:rrrttdrdtq1ln122w1w由上式可见,径向热流密度不等于常数,而是r的函数,随着r的增加,热流密度逐渐减小。单层圆筒壁的导热但是,对于稳态导热,通过整个圆筒壁的热流量是不变的,其计算公式为:122w1wln22rrttlqrlRttlrrtt2w1w122w1w2lnlddlrrR2ln2ln1212整个圆筒壁的导热热阻:多层圆筒壁的导热三层圆筒壁的稳态导热运用热阻的概念分析单位长度圆筒壁的导热热流量为：3214w1wllllRRRtt3432321214w1wln21ln21ln21ddddddtt对于n层不同材料组成的多层圆筒壁的稳态导热,单位管长的热流量为：niiiinniinlddttRtt111w1w11w1wln211.什么是“肋片（fin）”？依附于基础表面上的扩展表面。2.4通过肋片的导热a)针肋b)直肋c)环肋d)大套片2.加装肋片的目的：