正弦和余弦定理 (2)资料

诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[最新考纲]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．第5讲正弦定理和余弦定理诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bcsinA＝____________＝_____________．(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)=Rabc4(R为外接圆的半径)．12absinC12acsinB诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力辨析感悟1．三角形中关系的判断(1)在△ABC中，sinA＞sinB的充分不必要条件是A＞B．()(2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，则A＝60°或120°.()√×诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力2．解三角形(3)(2013·北京卷改编)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝59.()(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cosA＝916，则b＝6.()3．三角形形状的判断(5)在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则此三角形是钝角三角形．()(6)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则此三角形是锐角三角形．()√√√×诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[感悟·提升]1．一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，如(1)．2．判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.题型分类·深度剖析题型一解由正弦定理得asinA＝bsinB，3sinA＝2sin45°，∴sinA＝32.利用正弦定理，余弦定理解三角形∵ab，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力9.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为_______．题型分类·深度剖析解析∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝π3.π6由正弦定理知：sinA＝asinBb＝12，又ab，∴AB，∴A＝π6.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力3．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为()A．33B．23C．43D.3诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力训练：1.在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝()．A．30°B．45°C．45°或135°D．60°2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()．A．30°B．60°C．120°D．150°诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力5.(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB＝3b，则角A等于()A.π3B．π4C.π6D．π126.(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝42，B＝45°，则sinC＝________.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力1.边角互化诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【自主体验】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3asinC－ccosA.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．2整体配凑诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力3三角公式和解三角形的综合应用32,cos4(1)cos,cos2722ABCCBACBBABC例：在中，求（）若，求AC的长。诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力2223()4(1)2sin+sinABCSabcCAB例：在中，求角的大小（）求的最大值2223(1),+3coscosABCabcbcAaSABCSBC例：在中，求（2）设=3为的面积，求的最大值。诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力4转化思想解三角形诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[试一试]7.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为()A.33B.36C.63D.66解析：设BD＝1，则AB＝AD＝32，BC＝2.在△ABD中，解得sinA＝223，在△ABC中，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得sinC＝66，故选.D诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力8．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________.解析：由3sinA＝5sinB可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t0)，则b＝3t，c＝7t，可得cosC＝a2＋b2－c22ab＝5t2＋3t2－7t22×5t×3t＝－12，故C＝2π3.答案：2π3诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力11.(2013·山东高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(1)求a，c的值；诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429，由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.[典例](2013·山东高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(2)求sin(A－B)的值．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力12.(2014·豫东、豫北十校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点(a，b)在直线4xcosB－ycosC＝ccosB上．解：(1)由题意得4acosB－bcosC＝ccosB，由正弦定理得4sinA·cosB－sinB·cosC＝sinC·cosB，即4sinA·cosB＝sinC·cosB＋sinB·cosC，所以4sinA·cosB＝sin(C＋B)＝sinA，(1)求cosB的值；(2)若BA·BC＝3，b＝32，求a和c.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力又sinA≠0，所以cosB＝14.(2)由BA·BC＝3得accosB＝3，又cosB＝14，所以ac＝12.由b2＝a2＋c2－2accosB，b＝32可得a2＋c2＝24，所以(a－c)2＝0，即a＝c.所以a＝c＝23.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力考点二判断三角形的形状【例1】(1)在ABC中，cbaccaB,,(22cos2分别为角A,B,C的对边）则ABC的形状为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形(2)在ABC中，已知),sin()()sin()(2222BAbaBAba则ABC的形状为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力[类题通法]判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力训练：1.(2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝π2，故选.B诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知识突破高频考点培养解题能力训练：2.(2014·九江模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．解(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.诊断基础知识突破高频考点培养解题能力诊断基础知