正弦和余弦定理应用举例

第八节正弦和余弦定理应用举例1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①).上方下方2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.3.方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡度坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角).坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比).1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A.αβB.α＝βC.α＋β＝90°D.α＋β＝180°解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知.答案：B2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°解析：由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：B3.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A.α，a，bB.α，β，aC.a，b，γD.α，β，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似.答案：A4.在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为m.解析：如图所示，设塔高为hm.由题意及图可知（200-h）·解得答案tan60400m.3h5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为m.解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求宽度，在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条河宽为60m.答案：60有关距离测量问题，主要是利用可以测量的数据，通过解三角形计算出不易测量的数据；遇到多边形问题，可以分割为n个三角形来解决.某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离.【解】在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6，∠ACD＝45°，根据正弦定理有同理，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6，∠BCD＝30°，根据正弦定理得又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理有AB=所以炮兵阵地到目标的距离为42(km).CD1.某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解：如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，cosB=123sin.31B所以,ABCAC在中得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D处距A有15千米.测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).【解】在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，故所求的塔高为米.62sin1520210(31).4BEDB10tan30(33).3ABBE10(33)32.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得所以BC在Rt△ABC中，AB=BCtan测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值.如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了.在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(-1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10的速度追截走私船.此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？本例考查正弦、余弦定理的建模应用.如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.【解】设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6，6,.sinsinBCACABCBACBC且∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直.∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船.sin∠BCD=3.外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线dnmile以内的区域，如图所示，设A和B是我国的观测站，A与B之间的距离为snmile，海岸线是过A、B的直线，一外国船只在P点，在A站测得∠BAP＝α，同时在B站测得∠ABP＝β，问α及β满足什么三角函数不等式时，就应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我国海域？解：过P作PC⊥AB交BA延长线于C，在△ABP中，由正弦定理，得∴当PC≤d，即时，就应向未经特许的外国船只发出警告.在Rt△APC中，PC=·sin在高考试题中，解三角形常作为工具解决实际问题.2009年宁夏、海南卷(理)就考查了这一点.该题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点.同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力，代表了一种新的考查方向.(2009·海南、宁夏高考)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量.A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离.设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.[解]方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N的俯角α2、β2；A、B间的距离d(如图所示).②第一步：计算AM.由正弦定理得第二步：计算AN.由正弦定理得第三步：计算MN.由余弦定理得MN=AN=AM=方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示).②第一步：计算BM.由正弦定理得第二步：计算BN.由正弦定理得BN=第三步，计算MN.由余弦定理得MN=本题要求考生设计方案解决问题，方案的每一步都应该是充分的、完整的，2009年考生普遍犯的错误是方案一中步骤不够完整，第一步、第二步没能由正弦定理把AM、AN应用所测数据表示出来，造成因解题步骤不规范而失分.