高考调研2016年专题研究3 导数的综合运用

高考调研第1页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究导数的综合运用高考调研第2页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解题组层级快练高考调研第3页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解高考调研第4页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习题型一导数与函数图像例1(2015·潍坊模拟)已知f(x)＝14x2＋sin(π2＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则y＝f′(x)的图像大致是()高考调研第5页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】因为f(x)＝14x2＋cosx，所以f′(x)＝12x－sinx，f′(x)为奇函数，排除B，D，令g(x)＝12x－sinx，则g′(x)＝12－cosx，当0xπ3时，g′(x)0，f′(x)单调递减，当π3x5π3时，g′(x)0，f′(x)单调递增，当5π3x2π时，g′(x)0，f′(x)单调递减，故选A.【答案】A高考调研第6页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究1给定解析式求函数的图像是近几年高考重点，并且难度在增大，多数需要利用导数研究单调性知其变化趋势，利用导数求极值(最值)研究零点．高考调研第7页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2015·杭州质检)设函数f(x)＝x2sinx，则函数f(x)的图像可能为()思考题1高考调研第8页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】因为f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．又因为f′(x)＝2xsinx＋x2cosx，所以f′(0)＝0，排除A；且当x∈[0，π]时，函数值为正实数，排除B；当x∈(π，2π)时，函数值为负实数，排除D，故选C.【答案】C高考调研第9页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习例2(2015·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.【思路】(1)令f′(x)＝0，求极值点，然后讨论在各个区间上的单调性．(2)构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，注意到g(0)＝0，只需证明g(x)在(0，＋∞)上是增函数，可利用导数求解．题型二导数与不等式高考调研第10页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)2(1－ln2＋a)故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．高考调研第11页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当aln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是对任意x∈R，都有g′(x)0，所以g(x)在R内单调递增．于是当aln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)0.即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.【答案】(1)单调递减区间为(－∞，ln2)，单调递增区间为(ln2，＋∞)；极小值2(1－ln2＋a)(2)略高考调研第12页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究2利用导数工具，证明不等式的关键在于要构造好函数的形式，转化为研究函数的最值或值域问题，有时需用到放缩技巧．求证不等式f(x)≥g(x)，一种常见思路是用图像法来说明函数f(x)的图像在函数g(x)图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过导数研究函数F(x)的性质，进而证明欲证不等式．高考调研第13页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2(2014·新课标全国Ⅰ理)设函数f(x)＝aexlnx＋b·exe·x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexlnx＋axex－bx2ex－1＋bxex－1.由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.高考调研第14页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)证明：由(1)知，f(x)＝exlnx＋2xex－1＝exx(xlnx＋2e)，从而f(x)1等价于xlnxxe－x－2e.设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx.所以当x∈0，1e时，g′(x)0；当x∈1e，＋∞时，g′(x)0.高考调研第15页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习故g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g1e＝－1e.设函数h(x)＝xe－x－2e＝xex－2e，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0,1)时，h′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e.综上，当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.【答案】(1)a＝1，b＝2(2)略高考调研第16页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习题型三导数与方程例3(2014·陕西文)设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意ba0，fb－fab－a1恒成立，求实数m的取值范围．高考调研第17页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋ex，则f′(x)＝x－ex2.∴当x∈(0，e)时，f′(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋ee＝2.∴f(x)的极小值为2.高考调研第18页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x0)．设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．当x∈(0,1)时，φ′(x)0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．高考调研第19页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点．∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图)，可知高考调研第20页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习①当m23时，函数g(x)无零点；②当m＝23时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0m23时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m23时，函数g(x)无零点；当m＝23或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m23时，函数g(x)有两个零点．高考调研第21页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(3)对任意的ba0，fb－fab－a1恒成立，等价于f(b)－bf(a)－a恒成立．(*)设h(x)＝f(x)－x＝lnx＋mx－x(x0)，∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．由h′(x)＝1x－mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m≥－x2＋x＝－x－122＋14(x0)恒成立．高考调研第22页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习∴m≥14对m＝14，h′x＝0仅在x＝12时成立.∴m的取值范围是14，＋∞.【答案】(1)极小值为2(2)m23时无零点，m＝23或m≤0时有一个零点，0m23时有两个零点(3)14，＋∞高考调研第23页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究3讨论方程根的个数或函数的零点，关键根据题意，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析解决．高考调研第24页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习思考题3已知函数f(x)＝lnx－x，h(x)＝lnxx.(1)求h(x)的最大值；(2)若关于x的不等式xf(x)≥－2x2＋ax－12对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)－x3＋2ex2－bx＝0恰有一解，其中e为自然对数的底数，求实数b的值．高考调研第25页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)因为h(x)＝lnxx(x0)，所以h′(x)＝1－lnxx2.由h′(x)0，且x0，得0xe.由h′(x)0，且x0，得xe.所以函数h(x)的单调递增区间是(0，e]，单调递减区间是[e，＋∞)，所以当x＝e时，h(x)取得最大值1e.高考调研第26页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)因为xf(x)≥－2x2＋ax－12对一切x∈(0，＋∞)恒成立，即xlnx－x2≥－2x2＋ax－12对一切x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤lnx＋x＋12x对一切x∈(0，＋∞)恒成立，设φ(x)＝lnx＋x＋12x，因为φ′(x)＝x2＋x－12x2＝x－3x＋4x2，故φ(x)在(0,3]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，φ(x)min＝φ(3)＝7＋ln3，所以a≤7＋ln3.高考调研第27页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(3)因为方程f(x)－x3＋2ex2－bx＝0恰有一解，即lnx－x－x3＋2ex2－bx＝0恰有一解，即lnxx＝x2－2ex＋b＋1恰有一解．由(1)知，h(x)在x＝e时，h(x)max＝1e，而函数k(x)＝x2－2ex＋b＋1在(0，e]上单调递减，在[e，＋∞)上单调递增，故x＝e时，k(x)min＝b＋1－e2，故方程lnxx＝x2－2ex＋b＋1恰有一解时当且仅当b＋1－e2＝1e，即b＝e2＋1e－1.【答案】(1)1e(2)a≤7＋ln3(3)e2＋1e－1高考调研第28页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习例4(2015·江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)．题型四导数与最优化问题高考调研第29页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(1)求V关于θ的函数表达式；(2)求θ的值，使体积V最大；(3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【解析】(1)梯形ABCD的面积SABCD＝2cosθ＋22·sinθ＝sinθcosθ＋sinθ，θ∈(0，π2)．体积V(θ)＝10(sinθcosθ＋sinθ)，θ∈(0，π2)．高考调研第30页第三章导数及应