高考调研2016年专题研究6-1 数列的通项

高考调研第1页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究一数列的通项高考调研第2页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解题组层级快练高考调研第3页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解高考调研第4页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习题型一累加法例1在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，求an.高考调研第5页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】方法一：∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴an＋1－an＝lnn＋1n，∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，…，a2－a1＝ln21.∴an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝lnn.又a1＝2，∴an＝lnn＋2.高考调研第6页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴an＋1－an＝lnn＋1n.又a1＝2，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＋2＝lnn＋2.即an＝lnn＋2.【答案】an＝lnn＋2高考调研第7页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习探究1利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)求通项公式的方法称为累加法．累加法是求型如an＋1＝an＋f(n)的递推数列通项公式的基本方法，其中f(n)可求前n项和．高考调研第8页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝________.思考题1【解析】∵an＋1＝an＋n＋1，∴a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n，以上n－1个式子相加，得an＝a1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12＋1.【答案】n2＋n＋22高考调研第9页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，求数列{an}的通项公式．【解析】累加法：由已知得，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.【答案】an＝22n－1高考调研第10页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习题型二累乘法例2设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝________.高考调研第11页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】原式可化为[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an＋1＋an0，∴an＋1an＝nn＋1.则a2a1＝12，a3a2＝23，a4a3＝34，…，anan－1＝n－1n，逐项相乘，得ana1＝1n，即an＝1n.【答案】1n高考调研第12页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习探究2利用恒等式an＝a1·a2a1·a3a2…anan－1(an≠0)求通项公式的方法称为累乘法．累乘法是求型如an＋1＝g(n)an的递推数列通项公式的基本方法，其中g(n)可求前n项积．高考调研第13页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2已知数列{an}满足a1＝23，an＋1＝nn＋2an，求通项公式an.高考调研第14页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】由已知得an＋1an＝nn＋2，分别令n＝1,2,3，…，(n－1)，代入上式得n－1个等式累乘，即a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝13×24×35×46×…×n－2n×n－1n＋1，所以ana1＝2nn＋1.又因为a1＝23也满足该式，所以an＝43nn＋1.【答案】an＝43nn＋1高考调研第15页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习题型三〓换元法例3已知数列{an}，其中a1＝43，a2＝139，且当n≥3时，an－an－1＝13(an－1－an－2)，求通项公式an.高考调研第16页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】设bn－1＝an－an－1，原递推式可化为bn－1＝13bn－2，{bn}是一个等比数列．b1＝a2－a1＝139－43＝19，公比为13，故bn－1＝b1·(13)n－2＝19(13)n－2＝(13)n.故an－an－1＝(13)n.由逐差法，可得an＝32－12(13)n.【答案】an＝32－12(13)n高考调研第17页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习探究3通过换元构造等差或等比数列从而求得通项．高考调研第18页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(1)若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整数)，则它的通项公式an＝________.思考题3【解析】由题意知an0，将an＋1＝a2n两边取对数，得lgan＋1＝2lgan，即lgan＋1lgan＝2，所以数列{lgan}是以lga1＝lg3为首项，公比为2的等比数列．lgan＝lga1·2n－1＝2n－1·lg3，即an＝32n－1.【答案】32n－1高考调研第19页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知数列{an}中，其中a1＝1，且当n≥2时，an＝an－12an－1＋1，求通项公式an.【解析】将an＝an－12an－1＋1两边取倒数，得1an－1an－1＝2，这说明{1an}是一个等差数列，首项是1a1＝1，公差为2，所以1an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝12n－1.【答案】an＝12n－1高考调研第20页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习题型四待定系数法(构造新数列法)例4(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求通项公式an.高考调研第21页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)即an＋1＝2an－t⇒t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)，令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.(2)在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求通项公式an.高考调研第22页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．①比较系数得λ＝－4，①式即是：an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－4·3n－1}是一个等比数列，其首项a1－4·31－1＝－5，公比是2.∴an－4·3n－1＝－5·2n－1.即an＝4·3n－1－5·2n－1.高考调研第23页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(3)在数列{an}中，a1＝－1，a2＝2，当n∈N*，an＋2＝5an＋1－6an，求通项公式an.【解析】an＋2＝5an＋1－6an可化为an＋2＋λan＋1＝(5＋λ)(an＋1＋λan)．比较系数得λ＝－3或λ＝－2，不妨取λ＝－2.代入可得an＋2－2an＋1＝3(an＋1－2an)．则{an＋1－2an}是一个等比数列，首项a2－2a1＝2－2(－1)＝4，公比为3.∴an＋1－2an＝4·3n－1.利用上题结果有：an＝4·3n－1－5·2n－1.当λ＝－3时结果相同．高考调研第24页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)an＝2n＋1－3(2)an＝4·3n－1－5·2n－1(3)an＝4·3n－1－5·2n－1探究4构造法基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列．高考调研第25页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习思考题3已知数列{an}满足a1＝12，31＋an＋11－an＝21＋an1－an＋1，anan＋10，求数列{an}的通项公式．【解析】∵31＋an＋11－an＝21＋an1－an＋1，∴3a2n＋1＝2a2n＋1.即a2n＋1＝23a2n＋13.∴a2n＋1－1＝23(a2n－1)．令bn＝a2n－1－1，∴bn＋1＝23bn.又b1＝a21－1＝－34，高考调研第26页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习∴数列{bn}是首项为－34，公比为23的等比数列．∴bn＝－34·(23)n－1.∴a2n－1＝－34·(23)n－1.∴a2n＝1－34·(23)n－1.又a1＝120，an·an＋10，∴an＝(－1)n－11－34·23n－1.高考调研第27页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】an＝(－1)n－11－34·23n－1高考调研第28页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习例5设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝4，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.求数列{an}的通项公式．题型五公式法高考调研第29页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】方法一：由an＋1＝Sn＋3n，得an＝Sn－1＋3n－1(n≥2)．两式相减，得an＋1－an＝an＋2×3n－1.∴an＋1＝2an＋2×3n－1(n≥2)．两边同除以2n＋1，得an＋12n＋1＝an2n＋3n－12n(n≥2)．高考调研第30页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习当n≥2时，an2n＝a222＋(a323－a222)＋(a424－a323)＋…＋(an2n－an－12n－1)＝a24＋322＋3223＋…＋3n－22n－1＝74＋341－32n－21－32＝14＋(32)n－1，∴an＝2n－2＋2×3n－1n≥2，4n＝1.高考调研第31页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：依题意，得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n.由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∴数列{Sn－3n}是首项为S1－31＝1，公比为2的等比数列．因此Sn－3n＝2n－1，n∈N*.∴Sn＝3n＋2n－1.因此an＝Sn－Sn－1S1＝2n－2＋2×3n－1n≥2，4n＝1.高考调研第32页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】an＝2n－2＋2×3n－1n≥2，4n＝1高考调研第33页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习探究5已知Sn与an的关系求通项：(1)已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，要注意运用an和Sn的关系，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(2)对于形如Sn＝f(an)求an常有两种处理方法：①由Sn＝f(an)，得Sn－1＝f(an－1)两式作差，得an＝f(an)－f(an－1)(n≥2)．②将an换成Sn－Sn－1，即Sn＝f(Sn－Sn－1)，先求出Sn，再求出an.高考调研第34页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(1)已知{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，则通项公式an＝________.思考题5【解析】方法一：∵Sn＋1－Sn＝Sn，∴Sn＋1＝2Sn.因此{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，2为公比的等比数列．∴Sn＝2n－1，∴an＝2n－2n≥2，1n＝1.高考调研第35页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1(n≥2)．两式相减，得an＋1＝2an(n≥2)．因此数列{an}从第二项起是以2为公比的等比数列．∴an＝1n＝1，2n－2n≥2.【答案】1n＝1，