高考调研2016年专题研究6-2 数列的求和

高考调研第1页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究二数列的求和高考调研第2页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解题组层级快练高考调研第3页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解高考调研第4页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习题型一通项分解法例1(1)数列1，12，2，14，4，18，…的前2n项和S2n＝________.【解析】S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋(12＋14＋18＋…＋12n)＝2n－1＋1－12n＝2n－12n.【答案】2n－12n高考调研第5页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(2)求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋…＋n.【解析】设数列的通项为an，则an＝2nn＋1＝2(1n－1n＋1)，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.【答案】2nn＋1高考调研第6页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习探究1将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称为通项分解法，运用这种方法的关键是通项变形．高考调研第7页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习求数列0.9,0.99,0.999，…，0.99…9…n个9前n项的和Sn.思考题1【答案】Sn＝n－19(1－0.1n)高考调研第8页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习题型二裂项相消法例2求和：(1)Sn＝11×2＋12×3＋…＋1nn＋1；(2)Sn＝11×3＋12×4＋…＋1nn＋2.高考调研第9页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.(2)Sn＝121－13＋12－14＋…＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32nn＋2.【答案】(1)Sn＝nn＋1(2)Sn＝34－2n＋32nn＋2高考调研第10页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习探究2裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的．高考调研第11页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2已知直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第一项与第二项，若bn＝1an·an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10＝()A.921B.1021C.1121D.2021高考调研第12页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】依题意，将(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0化为(x＋y－4)＋m(3x－y)＝0，令x＋y－4＝0，3x－y＝0，解得x＝1，y＝3，所以直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0过定点(1,3)，所以a1＝1，a2＝3，公差d＝2，an＝2n－1，bn＝1an·an＋1＝12(12n－1－12n＋1)．T10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1)＝12×(11－121)＝1021.故选B.【答案】B高考调研第13页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习题型三错位相减法例3求和：Sn＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋2n－12n.【思路】数列1,3,5，…，2n－1成等差数列，数列12，14，18，…，12n组成等比数列，此例利用错位相减法可达目的．高考调研第14页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】∵Sn＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋(2n－1)×12n，①∴12Sn＝1×14＋3×18＋…＋(2n－3)×12n＋(2n－1)×12n＋1.②①－②，得高考调研第15页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习12Sn＝1×12＋2×14＋2×18＋…＋2×12n－(2n－1)×12n＋1＝1×12＋2×14－2×12n＋11－12－(2n－1)×12n＋1＝32－2n＋32n＋1.∴Sn＝3－2n＋32n(n∈N*)．【答案】Sn＝3－2n＋32n高考调研第16页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习探究3(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．(2)运用错位相减法求和，一般和式比较复杂，运算量较大，易会不易对，应特别细心，解题时若含参数，要注意分类讨论．高考调研第17页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习思考题3已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an2n－1}的前n项和．高考调研第18页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得a1＋d＝0，2a1＋12d＝－10，解得a1＝1，d＝－1.故数列{an}的通项公式为an＝2－n.高考调研第19页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(2)设数列{an2n－1}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a22＋…＋an2n－1，故S1＝1，Sn2＝a12＋a24＋…＋an2n.所以，当n1时，Sn2＝a1＋a2－a12＋…＋an－an－12n－1－an2n＝1－(12＋14＋…＋12n－1)－2－n2n＝1－(1－12n－1)－2－n2n＝n2n.高考调研第20页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习所以Sn＝n2n－1.综上，数列{an2n－1}的前n项和Sn＝n2n－1.【答案】(1)an＝2－n(2)Sn＝n2n－1高考调研第21页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习题型四倒序相加法例4设f(x)＝4x4x＋2，若S＝f(12015)＋f(22015)＋…＋f(20142015)，则S＝________.高考调研第22页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】∵f(x)＝4x4x＋2，∴f(1－x)＝41－x41－x＋2＝22＋4x.∴f(x)＋f(1－x)＝4x4x＋2＋22＋4x＝1.S＝f(12015)＋f(22015)＋…＋f(20142015)，①S＝f(20142015)＋f(20132015)＋…＋f(12015)，②高考调研第23页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习①＋②，得2S＝[f(12015)＋f(20142015)]＋[f(22015)＋f(20132015)]＋…＋[f(20142015)＋f(12015)]＝2014.∴S＝20142＝1007.高考调研第24页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】1007探究4如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．高考调研第25页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习思考题3设f(x)＝x21＋x2，求f(12016)＋f(12015)＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)．【解析】∵f(x)＝x21＋x2，∴f(x)＋f(1x)＝1.令S＝f(12016)＋f(12015)＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)．①则S＝f(2016)＋f(2015)＋…＋f(1)＋f(12)＋…＋f(12016)．②高考调研第26页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习①＋②，得2S＝1×4031＝4031，所以S＝40312.【答案】40312高考调研第27页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习题组层级快练