高考调研2016年专题研究7-1 一元二次方程根的分布

高考调研第1页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究一元二次方程根的分布高考调研第2页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习专题要点题组层级快练专题讲解高考调研第3页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习专题要点高考调研第4页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习1．一元二次方程的根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2，且x1≤x2.高考调研第5页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【定理1】x10，x20(两个正根)⇔Δ＝b2－4ac≥0，x1＋x2＝－ba0，x1x2＝ca0.高考调研第6页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习推论：x10，x20⇔Δ＝b2－4ac≥0，a0，f0＝c0，b0或Δ＝b2－4ac≥0，a0，f0＝c0，b0.上述推论结合二次函数图像不难得到．高考调研第7页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【定理2】x10，x20⇔Δ＝b2－4ac≥0，x1＋x2＝－ba0，x1x2＝ca0.高考调研第8页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习推论：x10，x20⇔Δ＝b2－4ac≥0，a0，f0＝c0，b0或Δ＝b2－4ac≥0，a0，f0＝c0，b0.由二次函数图像易知它的正确性．【定理3】x10x2⇔ca0.高考调研第9页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习2．一元二次方程的根的非零分布——k分布设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2.k为常数．则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干定理．高考调研第10页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【定理1】kx1≤x2⇔Δ＝b2－4ac≥0，afk0，－b2ak.高考调研第11页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【定理2】x1≤x2k⇔Δ＝b2－4ac≥0，afk0，－b2ak.高考调研第12页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【定理3】x1kx2⇔af(k)0.推论1x10x2⇔ac0.推论2x11x2⇔a(a＋b＋c)0.高考调研第13页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【定理4】有且仅有k1x1(或x2)k2⇔f(k1)f(k2)0.高考调研第14页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【定理5】k1x1k2≤p1x2p2⇔a0，fk10，fk20，fp10，fp20或a0，fk10，fk20，fp10，fp20.此定理可直接由定理4推出，请读者自证．高考调研第15页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【定理6】k1x1≤x2k2⇔Δ＝b2－4ac≥0，a0，fk10，fk20，k1－b2ak2或Δ＝b2－4ac≥0，a0，fk10，fk20，k1－b2ak2.高考调研第16页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解高考调研第17页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习例1(1)若一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0有两个正根，求m的取值范围．高考调研第18页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】依题意有Δ＝4m＋12＋4mm－1≥0，－2m＋1m－10，－mm－10，解得0m1.【答案】(0,1)高考调研第19页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(2)若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根都是负数，求k的取值范围．【解析】依题意可知Δ≥0，k－3k0，解得k≤－125或k3.【答案】(－∞，－125]∪(3，＋∞)高考调研第20页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(3)k在何范围内取值，一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0有一个正根和一个负根？【解析】依题意有k－3k0⇒0k3.【答案】(0,3)高考调研第21页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(4)若一元二次方程kx2＋(2k－1)x＋k－3＝0有一根为零，则另一根是正根还是负根？【解析】由已知k－3＝0，∴k＝3，代入原方程得3x2＋5x＝0，另一根为负．【答案】负根高考调研第22页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习例2(1)已知方程x2－11x＋m－2＝0的两实根都大于1，求m的取值范围．【答案】12m≤1294高考调研第23页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(2)若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的两个实根都大于－1，求m的取值范围．【答案】m－2或m≥5＋26高考调研第24页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(3)若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的两实根都小于2，求m的取值范围．【答案】m－12或m≥5＋26(4)已知方程x2＋2mx＋2m2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，求m的取值范围．【答案】－1－22m－1＋22高考调研第25页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(5)已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0有一实根在0和1之间，求m的取值范围．(6)已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0的较大实根在0和1之间，求m的取值范围．变式：改为较小实根．【答案】12m23【答案】不可能；12m23高考调研第26页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(7)若方程x2＋(k＋2)x－k＝0的两实根均在区间(－1,1)内，求k的取值范围．(8)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．【答案】－4＋23≤k－12【答案】12k23高考调研第27页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(9)已知关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m2＋m－6＝0的两根为α，β且0α1β，求m的取值范围．【答案】－3m－7或2m7高考调研第28页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习题组层级快练