第3讲 几何二-圆与立体

学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第三讲教师版Page1of13小升初名校真题专项测试-----几何篇（二）测试时间：15分钟姓名_________测试成绩_________1、求下图中阴影部分的面积：（05年101中学入学测试题）【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。所以阴影面积：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。2、从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是_________平方厘米.（06年清华附中入学测试题）【解】最大正方体的边长为6，这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为(8×7+8×6+7×6)×2-6×6×2=220.3、有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米.（06年三帆中学考试题）【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），每切一次增加2个面：2平方米。所以表面积：6＋2×9＝24（平方米）．4、右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（＝3.14）（06年西城某重点中学测试题）【解】可见大圆的半径是小圆的3倍，所以半径为3，那么阴影部分的周长就等于7的小圆的周长加上1个大圆的周长，即7××2+×6=20。5、有四个半径为3厘米的圆如图摆放，求阴影的面积。（某中学结业考试题）学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第三讲教师版Page2of13【解】如图，连接四个圆心，那么有阴影部分面积为正方形面积减去4个41圆的面积。则阴影部分面积为(3×2)2－4×41×32×π＝9×(4－3.14)＝7.74平方厘米。6、一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？【解】：共有10×10×10＝1000个小正方体，其中没有涂色的为(10－2)×(10－2)×(10－2)＝512个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000－512＝488个。学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第三讲教师版Page3of13第三讲小升初专项训练几何二：圆和立体引言：立体图形是近两年来小生初的考察新热点，由于立体图形考察学生的空间想象能力，更反映学生的本身潜能，所以越来越受到学校的欢迎；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。【典型题目解析】：一、圆与扇形【例1】．（★★★）在图中，一个圆的圆心是O，半径r＝9厘米，∠1＝∠2＝15º。那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14.）[方法一]：[思路]：要求扇形面积，只有知道圆心角的度数，所以我们退求圆心角。解：各角标号后见下图，因为OA=OB=OC=半径，∠1＝∠2＝15º，所以∠3＝∠1＝∠2＝∠4＝15º∠1+∠3＝15º+15º=30º，∠5＝∠6＝180º-30º=150°，所以∠7＝360º-150°×2=60°所以面积=（60/360）×π×9×9=42.39[总结]：基础知识一定要牢记，象这种题就是考察学生的基础知识能力。[方法二]：运用定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．解：圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．这样的话，我们很快发现∠7＝2×（∠1+∠2）＝2×（15º+15º）=60°，所以面积=（60/360）×π×9×9=42.39[总结]：这种结论的运用对解题速度的提高有很大的提升，所以见过以后尽量学会运用！【例2】、（★★★★）如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1。求阴影部分的面积。[方法]：面积的加减学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第三讲教师版Page4of13[思路]：由于直接求阴影面积太麻烦,所以我们考虑用增加面积的方法来构造新图形.解:由图可见,阴影面积等于1/6大圆面积减去一个小圆面积,再加上120°的小扇形面积所以面积=×5÷6【例3】（★★★）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？【解】：（此题十分经典）如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，所以羊活动的范围是二、立体几何小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。【例4】.（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第三讲教师版Page5of13[方法一]：[思路]：整体看待面积问题。解：不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1，所以，总计9×2+7×4=18+28=46。[方法二]：[思路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=64，但总共粘合了18个面，这样就减少了18×1=18，所以剩下的表面积是64-18=46。[方法三]：直接数数。[思路]：通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1，这样总共的表面积就是46。【例5】．（★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？[方法一]：[思路]：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去是都还是面积不变的，特别是从上往下看是，3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自侧面。解：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，增加的面积1×4+(21×21)×4+(41×41)×4，所以总共面积为24+1×4+(21×21)×4+(41×41)×4=2941[方法二]：[思路]：原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后，原大正方体的顶部表面被去掉了一个1×1的小正方形，但是内部增加了5个1×1的面，所以总共增加了4个1×1的面，即正方形小洞的4个侧面-同样，再往下挖掉一个边长为21的正方体后，大正方体的表面积又增加4个21×21的小正方形的面积.最后挖掉一个边长为41厘米的正方体后，大正方体的表面积又增加学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第三讲教师版Page6of13了4个41×41的小正方体的面积.所以最终大正方体的表面积=24+1×4+(21×21)×4+(41×41)×4=2941[总结]：立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以看成相连的，这就要求学生必须学会如何看待面积的变化。【例6】．（★★）如图是一个边长为4厘米的正方体，分别从前后、左右、上下各面的中心处向内挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具。它的表面积是多少平方厘米？[方法一]：4-1×2=2厘米，说明挖去小正方体后，大正方体的中心还是实心的。每挖去一个小正方体表面积增加1×1×4=4平方厘米。共挖去6个小正方体，表面积共增加4×6=24平方厘米。解答：原来表面积=4×4×6=96平方厘米，新增表面积=1×1×4×6=24平方厘米，现在表面积=96+24=120平方厘米。[拓展]：如果上题中挖去的是边长为1的正方形，但高是1.5呢？求产生新图形的表面积？【例7】（★★★）现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。例：【解】：立体图形的形状如下图所示。（此题十分经典）从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2；从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2；隐藏着的面积有2cm2。一共有18＋16＋12＋2＝48（cm2）。学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第三讲教师版Page7of13【例8】．（★★）有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？[方法一]：[思路]：等积变化问题，抓住体积不变。解答：将石子看成水，那么就相当于大小两桶水分别倒入空的中、小池，中池水面高6厘米，小池水面高4厘米，由此得出中水池中石子的体积相当于3×3×0.06，同理小池中的石子的体积相当于2×2×0.04，这样把这么多的水都倒入大水池中，这样升高了：（3×3×0.06+2×2×0.04）÷（6×6）=7/360米=35/18厘米。[方法二]：[思路]：解：将体积相等的碎石放入不同的水池中，水面升高的高度比是水池底面积比的反比。大正方形水池的底面积是6×6=36平方米。中正方形水池的底面积是3×3=9平方米。小正方形水池的底面积是2×2=4平方米。大、中正方形水池的底面积比是36：9=4：1。将放入中水池，使中水池的水面升高6厘米的碎石放入大水池中。则大水池水面升高6×1/4=6/4厘米=3/2厘米。大、小正方形水池的底面积比是36：4=9：1。将放入小水池，使小水池的水面升高4厘米的碎石放入大水池中。则大水池水面升高4×1/9=4/9厘米。3/2+4/9=35/18厘米。将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了35/18厘米。[总结]：等积变化是很重要的知识点，要求学生必须学会运用。【例9】．（★★★）今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体。现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体。问剩下的体积是多少立方厘米？[思路]：切下的体积要最大，我们就看能切下的最大边长是多少。因为211512，所以第一块切下的是12×12×12；把剩余部分看成12×15×（21-12）的长方体，1512(21-12),所以第二块切下的是9×9×9；同理，第三块切下的是6×6×6。解答：原来体积=21×15×12=3780立方厘米，切下的第一块体积=12×12×12=1728立方厘米，切下的第二块体积=9×9×9=729立方厘米，切