平面向量的概念与线性运算课件上课用

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●课程标准1.平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示.2.向量的线性运算①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.③了解向量的线性运算性质及其几何意义.●命题趋势由于向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇点.在高考试题中,其一主要考查平面向量的性质和运算法则,以及基本运算技能,考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则,理解其几何意义,并能正确的进行计算;其二是考查向量的坐标表示,向量的线性运算;其三是和其它数学知识结合在一起,如和解析几何、数列等知识结合.向量的平行与垂直,向量的夹角及距离,向量的几何意义,平面向量基本定理,向量数量积的运算、化简,以及与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合,始终是命题的重点.●备考指南1.在复习中要把知识点、训练目标有机结合.重点掌握共线、垂直、模、夹角、坐标运算的相关概念、性质、运算公式、法则等.2.明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份,注意“数”与“形”的相互转换.3.在复习中要注意分层复习,既要复习基本概念、基本运算,又要能把向量知识和其它知识(如曲线、数列、函数、三角等)进行横向联系,以体现向量的工具性.4.平面向量的平行与垂直.平面向量基本定理、向量的坐标表示、向量的长度是高考命题的重点,考查方式为选择题或填空题,在大题中常以条件形式出现,应重点训练;将一个向量用其它向量线性表示,向量的夹角是难点,应集中突破.第一节平面向量的概念与线性运算重点难点重点:向量及其表示方法;向量的线性运算;平行向量基本定理.难点:两个向量共线的充要条件.第五章平面向量§5.1平面向量的概念及线性运算基础知识自主学习要点梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量;向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量大小方向长度模零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量共线向量的非零向量又叫做共线向量0与任一向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0零相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反1个单位2.向量的表示方法(1)字母表示法,如:a,AB→等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.(3)代数表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA→的起点O在坐标原点,终点坐标为(x,y),则(x,y)称为OA→的坐标,记为OA→=(x,y).(6)相反向量:长度且方向的向量.(7)用向量表示点的位置给定点O和向量a,过点O作有向线段OA→=a,则点A相对于O的位置被a唯一确定,OA→叫做点A相对于点O的位置向量.(4)2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差法则a-b=a+(-b)三角形三角形平行四边形数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ0时,λa的方向与a的方向;当λ0时,λa的方向与a的方向;当λ=0时,λa=0.λ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb.3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.相同相反充要4.平行向量基本定理:如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ使a=λb.与a同向且长度为1的向量,叫做a的单位向量,记作a0,a0=a|a|.一、“数形结合”思想数形结合是求解向量问题的基本方法.向量加法、减法的几何意义,充分体现了数形结合思想.二、方程思想在向量中的应用在向量的平行与垂直、向量的共线、向量的长度与夹角等问题中,常常要依据条件列方程求解.利用共线条件和平面向量基本定理,是应用的难点.平面向量的基本概念[例1]给出下列命题:①a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;②若向量a与b同向,且|a||b|,则ab;③由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行;④若向量a与向量b平行,则向量a与b的方向相同或相反;⑤起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;⑥任一向量与它的相反向量不相等.其中真命题的序号是________.(文)(2011·潍坊模拟)在四边形ABCD中,AB→=DC→,且|AB→|=|BC→|,那么四边形ABCD为()A.平行四边形B.菱形C.长方形D.正方形答案:B(理)(2011·临沂模拟)已知向量AB→=a,BC→=b,CA→=c,则A,B,C三点构成△ABC是a+b+c=0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A[例2]平行四边形OADB的对角线交点为C,BM→=13BC→,CN→=13CD→,OA→=a,OB→=b,用a、b表示OM→、ON→、MN→.向量的线性表示分析:求向量的线性表示式.一是直接运用三角形法则与平行四边形法则来求,二是应用平行向量基本定理,用待定系数法求系数.解析:BA→=a-b,BM→=16BA→=16a-16b,OM→=OB→+BM→=16a+56b,OD→=a+b,ON→=OC→+CN→=12OD→+16OD→=23OD→=23a+23b,MN→=ON→-OM→=12a-16b.变式训练2△ABC中,AD→=23AB→,DE∥BC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N.设AB→=a,AC→=b,用a、b表示向量AE→、BC→、DE→、DN→、AM→、AN→.[例3]设e1,e2是两个不共线向量,已知AB→=2e1-8e2,CB→=e1+3e2,CD→=2e1-e2.(1)求证:A、B、D三点共线;(2)若BF→=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,求k的值.共线向量解析:(1)由已知得BD→=CD→-CB→=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,∵AB→=2e1-8e2,∴AB→=2BD→,又AB→与BD→有公共点B.∴A、B、D三点共线.(2)由(1)可知BD→=e1-4e2,又BF→=3e1-ke2,∵B、D、F共线,∴BF→与BD→共线,∴存在实数λ使得BF→=λBD→,∴3e1-ke2=λe1-4λe2得λ=3-k=-4λ,解得k=12.(文)(2011·北京丰台期末)如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反,那么k的值为()A.-3B.2C.-17D.17答案:A点评:1.一般地,若a与b不共线,c=λa+μb,d=xa+yb,若c与d共线,则λy-μx=0.2.若a与b共线且方向相同,则存在λ0,使a=λb(b≠0),若a与b(b≠0)共线,且方向相反,则存在λ0,使a=λb.3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b共线,则x1y2-x2y1=0.4.若a与b为相反向量,则a+b=0.(理)(2011·西安质检)已知向量a、b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向答案:D综合应用[例4](2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若OC→=λOE→+μOF→其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.[例4](2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若OC→=λOE→+μOF→其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.[例4](2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若OC→=λOE→+μOF→其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.解析:OF→=OB→+BF→=OB→+13OA→,OE→=OA→+AE→=OA→+13OB→,相加得OE→+OF→=43(OA→+OB→)=43OC→,∴OC→=34OE→+34OF→,∴λ+μ=34+34=32.答案:32(2011·杭州模拟)已知P是△ABC所在平面内的一点,若CB→=λPA→+PB→,其中λ∈R,则点P一定在()A.△ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上分析:点P若在△ABC的边上,则由三点共线得向量共线,因而只须将条件式转化为只含三角形的两个顶点和点P的表达式即可.答案:B思想与方法5.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题:(14分)如图所示,在△ABO中,OC→=14OA→,OD→=12OB→,AD与BC相交于点M,设OA→=a,OB→=b.试用a和b表示向量OM→.审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然OM→能用a、b表示,那我们不妨设出OM→=ma+nb.(3)利用共线定理建立方程,用方程的思想方法求解.规范解答解设OM→=ma+nb,则AM→=OM→-OA→=ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD→=OD→-OA→=12OB→-OA→=-a+12b.[3分]又∵A、M、D三点共线,∴AM→与AD→共线.∴存在实数t,使得AM→=tAD→,即(m-1)a+nb=t-a+12b.[5分]∴(m-1)a+nb=-ta+12tb.∴m-1=-tn=t2,消去t得,m-1=-2n,即m+2n=1.①[7分]又∵CM→=OM→-OC→=ma+nb-14a=m-14a+nb,CB→=OB→-OC→=b-14a=-14a+b.又∵C、M、B三点共线,∴CM→与CB→共线.[10分]∴存在实数t1,使得CM→=t1CB→,∴m-14a+nb=t1-14a+b∴m-14=-14t1n=t1,消去t1得,4m+n=1.②[12分]由①②得m=17,n=37,∴OM→=17a+37b.[14分]一、选择题1.(2011·四川理,4)如图,正六边形ABCDEF中,BA→+CD→+EF→=()A.0B.BE→C.AD→D.CF→[答案]D2.(2011·合肥二检)若AB→=(2,4),AC→=(1,3),则BC→=()A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)[答案]B3.(2011·日照二模)在△ABC中,AB→=c,AC→=b.若点D满足BD→=2DC→,则AD→等于()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23c[答案]A二、填空题4.(2011·北京理,10)已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c=(k,3),若a-2b与c共线,则k=________.[答案]1

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