平面向量的正交分解及坐标表示

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示复习平面向量基本定理：12121122+eeaaee如果、是同一平面内的两个线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使不共12ee这里不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.1122+aee1122+aee这就是说平面内任一向量都可以表示成的形式把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解ABCDoxyij思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设，填空：,OAiOBj（1）||_____,||______,||______;ijOC（2）若用来表示，则：,ij,OCOD________,_________.OCOD34ij57ij1153547（3）向量能否由表示出来？可以的话，如何表示？CD,ij23CDijOxyAijaxy+axiyj+OAxiyj如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，,ij,ijABCDoxyija平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ij+aaijxyxy对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作a(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。aa(x,y)是把平移到以原点为起点的向量的终点的坐标.ar例２.如图，分别用基底，表示向量、、、，并求出它们的坐标。ijabcdAA1A2解：如图可知1223aAAAAij(2,3)a同理23(2,3);23(2,3);23(2,3).bijcijdij思考：已知，你能得出的坐标吗？1122(,),(,)axybxy,,ababa平面向量的坐标运算：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标平面向量的基本定理思考：已知，你能得出的坐标吗？1122(,),(,)axybxy,,ababa平面向量的坐标运算：12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy例３.如图，已知，求的坐标。1122(,),(,)AxyBxyABxyOBA解：ABOBOA2211(,)(,)xyxy2121(,)xxyy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。思考:你能在上图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的Ｐ点吗？例４.已知，求的坐标。(2,1),(3,4)ab,,34ababab例4.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法１：设点D的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCxyxyABDC且(1,2)(3,4)xy1324xy解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）例５.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法２例4.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法2解法2：由平行四边形法则可得(2(1),13)(3(1),43)(3,1)BDBABC而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD所以顶点D的坐标为（2，2）ABCDoxyija小结1:平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ij+aaijxyxy对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作a(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。aa•小结2:平面向量的坐标运算：12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy