平面向量的线性运算

《平面向量的线性运算》向量的加法及其几何意义1.位移的合成飞机从广州飞往上海,再从上海飞往北京,两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.我们可以把这样一次位移叫做前面两次位移的合位移.O.O.2.力的合成如果一个力单独作用在物体上的效果与原来两个力共同作用在物体上的效果完全一样，那么，这一个力就叫做那两个力的合力.3FF1F23FF广州上海北京已知非零向量、ab,在平面内任取一点A,作bBCaAB,,则向量AC叫做向量、a记做b的和向量,ba,即ACBCABbaabABC1.向量加法的定义2.向量加法的定义称为向量加法的三角形法则.首尾相接abABC方向相同CAB方向相反ab3.三角形法则推广到多个向量相加:AEDECDBCAB例如:ACabuuurrrACabuuurrr4.向量加法的平行四边形法则o·ABCab规定：aaaa00对于零向量与任一向量，首首相接abrr,OabOBCDOCabrruuurrr以同一点为起点的两个已知向量、为邻边，做平行四边形则就是和的和例1.已知向量,分别用向量加法的三角形法则与向量加法的四边形法则作出ababrrabrrabrrabrr、首尾相连—三角形法则首首相连—平行四边形形法则探究:数的加法满足交换律与结合律,即对任意a，b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)任意向量的加法是否也满足交换律与结合律？abcrrr、、ararbrbrabrrarbrcrabrrbcrrabcrrrabbarrrr()()abcabcrrrrrr巩固练习2:化简下列各式⑴BCCAAB⑵PMMNQPNQ⑶FADFCDBCAB000《跟踪练习》,ABCPPAPBPCuuruuruuur4、已知，点为平面内任意一点，若则下列结论正确的是A.P在ABC的内部B.P在ABC的边AB上C.P在AB边所在直线上D.P在ABC的外部(D)《跟踪练习》|8,||12abababrrrrrr6、已知向量、满足|，则|+|的最大值是，最小值是204向量的减法及其几何意义1.向量加法的三角形法则:首尾相连，起点指向终点ABarCbrabrr2.向量加法的平行四边形法则起点相同，对角为和CabrrAOararbrBbr探究向量是否有减法?如何理解向量的减法?我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数，如:5-1=5+(-1)向量的减法是否也有类似的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？一、相反向量a定义：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作：aa在计算中常用,BAABarar结论：（1）)(a（2）零向量的相反向量仍是零向量,aaaa)()()3(（4）如果是a,b互为相反的向量，那么baba,,a0ba000rr二、向量减法：定义：)(baba即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。把也叫做与的差。与的差也是一个向量。baabab)(baba呢？如何作出根据减法的定义已知baba,,,abaOAbBDCb()ab()ab三、向量减法的作图方法：:ab的作图方法四、向量减法的几何意义:abaOAbBab①将两向量平移,使它们有相同的起点.②连接两向量的终点.③箭头的方向是指向“被减数”的终点.baab减向量的终点被减向量的终，这就是向量点减表示从指向的向量法的几何意义.abba表示与的和等于也可理解为：的向量.“共起点，连终点，指向被减向量”思考？abb(1)如图，如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？aabab、线则应样：若向量共，怎作出呢？思考abab（1）（2）OABABOabab(2)同向反向.,,,,,.1dcbadcba求作向量已知向量例ababccddABDO.,,,.2.,,,,.1:为所求则作作在平面上任取点作法dcDCbaBADCBAdODcOCbOBaOAO练习,,.abab如图，已知求作abaaabbb（1）（2）（3）（4）abababABoABoABoABoababDBACbabADaABABCD,,,,,.2表示向量用已知平行四边形例abABCD解：有向量加法的平行四边形法则，得ACab;由向量的减法可得，.DBABADababABCD变式训练一：当a,b满足什么条件时，a+b与ab垂直？_____________||||ab变式训练二：当a,b满足什么条件时，|a+b|=|ab|？_____________________ab和互相垂直baba三角形不等式：abABCDbaba||||||||||||bababa||||||||||||bababa在什么条件下成立？||||||baba方向相同与ba方向相反与ba在什么条件下成立？||||||||baba在什么条件下成立？||||||baba在什么条件下成立？||||||||baba方向相反与ba方向相同与baabABCDO如图,中,你能用表示向量AB和AD吗?变式训练三ABCDAO=,OB=b,a,ba解:AB=a+b;AD=a-b.练习1_____;______;______;______;______.ABADBABCBCBAODOAOAOB填空：DBBAADACCABAAB重要提示1、向量的减法可以转化为向量的加法进行：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.2、向量减法仍遵循三角形法则，它的规律是：把两个向量平移到同一起点，再连结这两个向量的终点，则差向量的大小就是连结两终点的线段的长，方向指向被减向量的终点。“共起点，连终点，指向被减向量”小结练习2CDBDACAB化简)1(:0CBBDCDCDCD解原式COBOOCOA化简)2(:()()()0OABOOCCOOAOBBA解原式练习3判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由01BAAB、OBOAAB、23、相反向量就是方向相反的量4、若，则A、B、C三点是一个三角形的定点0CABCABaa05、（）（）（）（）（）6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线（）√√练习4化简下列各式(1)ABMBBOOM(2)ABADDC(3)()()ABCDACBD(4)ABBCADDB(5)ABACDB(6)PBOPOB(7)OAOBCOOCABCB0BCCDOB2AB(B)Goodbye!