【全程复习方略】(山东专用)2013版高中数学 (主干知识 典例精析)3.7正弦定理和余弦定理课件

第七节正弦定理和余弦定理三年16考高考指数:★★★掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3.在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题.1.正弦定理a__________2RRABCsinA（是外接圆的半径）bsinBcsinCa_______,b_______,c________①，2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC__________②∶∶，分类内容定理变形公式解决的问题①已知两角和任一边，求其他两边和另一角.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.abc∶∶b2Rc2RsinA____,sinB____,sinC______③a2R【即时应用】(1)思考：在△ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？提示:充要条件.因为sinAsinB⇔⇔ab⇔AB.(2)在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝_____.【解析】A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶.答案：1∶1∶a2Rb2R332.余弦定理分类内容定理变形公式解决的问题222ABCa________________;b_______________c_______________在中，有；；22bc2bccosA22ca2cacosBcosA=_____________;cosB=__________;cosC=____________222b+c-a2bc222a+c-b2ac222a+b-c2ab①已知三边,求各角.②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.22ab2abcosC【即时应用】(1)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_______.(2)在△ABC中，已知，则角A为______.222abbcc＝＋＋【解析】(1)设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为＝.(2)由已知得＝－bc，∴cosA＝＝－，又∵0＜A＜π，∴A＝.答案：(1)(2)2224a4aa22a2a＋－78222bca＋－222bca2bc＋－122323783.三角形中常用的面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高);(2)S=bcsinA==；(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).12121absinC21acsinB212【即时应用】(1)在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则的值为______.(2)在△ABC中，AC＝，AB＝，cosA＝，则＝______.52255ABCSABCS【解析】(1)＝AB·AC·sinA＝sin60°＝.(2)在△ABC中，cosA＝，∴sinA＝，∴＝AB·AC·sinA＝.答案：(1)(2)1232255551215225252＝3222ABCSABCS利用正、余弦定理解三角形【方法点睛】解三角形中的常用公式和结论(1)A+B+C=π；(2)0＜A，B，C＜π，sin=sin=cos，cos=cos=sin，sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC.(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.AB2C2C2AB2C2C2【例1】根据下列条件解三角形(1)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝，则角C=______.(2)在△ABC中，已知A＞B＞C，且A=2C,b=4,a+c=8，则a=_____,c=_____.(3)已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程＋3x－2＝0的根，则第三边长是______.212322x【解题指南】(1)作出高利用直角三角形中的边角关系直接求得；(2)正弦定理和余弦定理结合应用求得；(3)利用方程求出余弦值，再利用余弦定理求得.【规范解答】(1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，sinC＝＝，则C＝60°.23432(2)由正弦定理=,又A=2C,所以,即,∴cosC=.由已知a+c=8=2b及余弦定理，得cosC==.asinAcsinCacsin2CsinCac2sinCcosCsinCa2c222222aca()cabc22aba(ac)5a3cac5a3c4aac4a∴=，整理得(2a-3c)(a-c)=0,∵a≠c,∴2a=3c.∵a+c=8,∴a=,c=.(3)解方程可得该夹角的余弦值为，由余弦定理得：＝21，∴第三边长是.答案：(1)60°(2)(3)a2c5a3c4a24516512221452452＋－2124516521【反思·感悟】1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.2.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数absinAa=bsinAbsinAaba≥baba≤b无解一解两解一解一解无解AabCBCAabB1B2ACaabCAabBBCABAaabbC利用正、余弦定理判断三角形形状【方法点睛】1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断．(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A、B、C的范围对三角函数值的影响.【例2】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果()sin(A-B)=()sin(A+B),试判断该三角形的形状.【解题指南】解答本题运用正弦定理和余弦定理,化边为角或化角为边来解.22ab22ab【规范解答】方法一：由已知()sin(A-B)=()sin(A+B),得［sin(A-B)-sin(A+B)］=［-sin(A+B)-sin(A-B)］,∴cosAsinB=cosBsinA.由正弦定理得AcosAsinB=BsinAcosB∵0＜A＜π,0＜B＜π,∴sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.22ab22ab2a2b22a22b2sin2sin2方法二:同方法一可得cosAsinB=cosBsinA,由正、余弦定理得·=,∴即=0.∴a=b或,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.22a22b2ab222bca2bc2222acbba2ac22222222abcabacb,22222ab(cab)222 cab【反思·感悟】三角形中判断边、角关系的具体方法(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论.与三角形面积有关的问题【方法点睛】三角形的面积公式(1)已知三边：S=,其中p=.ppapb(pc)abc2(2)已知两角及两角的共同边：S===(3)已知三边和外接圆半径R，则S=2bsinCsinA2sin(CA)2csinAsinB2sin(AB)2asinBsinC.2sinBCabc.4R【例3】(1)已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，则c=_____，=_______.(2)(2011·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.①求的值；②若cosB=，b=2,求△ABC的面积S.ABCScosA2cosC2cacosBbsinCsinA14【解题指南】(1)可利用正弦定理求出角C的正弦值,再求出边长c,进而求面积;也可利用余弦定理求出边长c，再求面积.(2)①可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式求解;也可先转化式子,然后利用余弦定理推出边的关系,再利用正弦定理求解.②应用余弦定理及第一问结论求得a和c的值，然后利用面积公式求解.【规范解答】(1)方法一:由正弦定理得,∴sinA=,∴cosA=±=±;∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=或.由,得=5,=3.∴=asinB=或=asinB=.87sinAsin6084sin603772431()717531433147csin60sinCABCS12103ABCS12631c2c1c2c方法二:由余弦定理得-2cacosB,∴-2×8×ccos60°,整理得:-8c+15=0,解得:=3,=5,∴=asinB=,或=asinB=.答案：3或5或222bca2227c82cABCSABCS1263103631032c1c1c2c12(2)①方法一:在△ABC中，由=及正弦定理可得，即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB，sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=π，则sinC=2sinA，即=2.cosA2cosCcosB2cabcosA2cosC2sinCsinAcosBsinBsinCsinA方法二：在△ABC中，由可得bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB由余弦定理可得整理可得c=2a，由正弦定理可得==2.②由c=2a及cosB=,b=2可得4=-2accosB=,则a=1，c=2，S=acsinB=×1×2×=，即S=.cosA2cosC2cacosBb222222222222bcaabcacbacb2caa2c，sinCsinAca1422ca22224aaa4a121221cosB154154【反思·感悟】1.运用正、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理、面积公式.2.明确所需要求的边、角:(1)若已知量与未知量全部集中在一个三角形中时，可选择正、余弦定理求解；(2)若涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形的解，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程求解.【满分指导】解三角形问题的规范解答【典例】(12分)(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+=a.(1)求;(2)若，求B.2bcosA2ba222cb3a【解题指南】(1)根据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；(2)先结合余弦定理和已知条件求出cosB的表达式，再利用第(1)题的结论进行化简即得.【规范解答】(1)由正弦定理得，AsinB+sinBA=sinA，即sinB(A+A)=sinA.………………………………3分故sinB=sinA，所以=.……………………………………………………6分2sin2cos22sin2cos22ba2(2)由余弦定理及，得cosB=.由(1)知，故.……………………10分可得B=,又cosB0，故cosB=，所以B=