§2广义积分的收敛判别法

2020/2/1宁波大学教师教育学院1二、无界函数广义积分的收敛判别法广义积分无穷限的广义积分无界函数的广义积分一、无穷限广义积分的收敛判别法§2广义积分的收敛判别法2020/2/1宁波大学教师教育学院2一、无穷限广义积分的收敛判别法定理1.若函数xattfxFd)()(()d.afxx则广义积分收敛证:根据极限收敛准则知xaxxttfxFd)(lim)(lim存在,()d.afxx即广义积分收敛2020/2/1宁波大学教师教育学院3（Cauchy收敛原理）定理2.()afxdx广义积分收敛000,,,AaAAA使对都有|()|.AAfxdx证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及极限存在的Cauchy准则即得。2020/2/1宁波大学教师教育学院4•柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857），十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生于巴黎。在大学毕业后当土木工程师，因数学上的成就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。后来在巴黎大学任教授，一直到逝世。在代数学上，他有行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。2020/2/1宁波大学教师教育学院5定理3.(比较原理),),[)(aCxf设有分大的x且对充)()(0xgxf,则收敛xxgad)(发散xxgad)(证:不失一般性,有则对atxxftad)(xxgtad)(的是故txxftad)(因此单调递增有上界函数,2020/2/1宁波大学教师教育学院6xxfxxfatatd)(d)(lim说明:已知得下列比较判别法.极限存在,2020/2/1宁波大学教师教育学院7定理4.(比较判别法1)pxMxf)(pxNxf)(,1p,1p2020/2/1宁波大学教师教育学院8例1.判别广义积分解:的收敛性.由比较判别法1可知原积分收敛.思考题:讨论广义积分的收敛性.提示:当x≥1时,利用可知原积分发散.2020/2/1宁波大学教师教育学院9定理5.(极限判别法1)lxfxpx)(lim则有:1)当2)当证:1),1时当p根据极限定义,对取定的当x充分大时,必有,即满足2020/2/1宁波大学教师教育学院102)当,1时p可取,0必有即,0l使时用任意正l(,)lN代替数注意:此极限的大小刻画了2020/2/1宁波大学教师教育学院11例2.判别广义积分121dxxx的收敛性.解:2211limxxxx11lim21xx1根据极限判别法1,该积分收敛.例3.判别广义积分xxxd11223的收敛性.解:21lim2321xxxx221limxxx1根据极限判别法1,该积分发散.2020/2/1宁波大学教师教育学院12定理6.,d,),[)(收敛）（且若axxfaCxf.收敛则广义积分adxf(x)证：,])()([)(21xfxfx令则)()(0xfx,d收敛）（axxf,d)(也收敛axx)()(2)(xfxxfxxfxxxxfaaad)(d)(2d)(而.d)(收敛可见广义积分xxfa2020/2/1宁波大学教师教育学院13定义.设广义积分,d)(收敛xxfa,d)(收敛若axxf则称绝对收敛;,d)(发散若axxf则称条件收敛.例4.判断广义积分的收敛性.解:根据比较判别法知0esindaxbxx收敛，故由定理6知所给积分收敛(绝对收敛).2020/2/1宁波大学教师教育学院14无界函数的广义积分可转化为无穷限的广义积分.二、无界函数广义积分的收敛判别法由定义babaxxfxxfd)(limd)(0则有令,1tax例如1120d)1(limd)(abtttafxxfbaabtttaf12d)1(因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数的广义积分中来.2020/2/1宁波大学教师教育学院15定理7.(比较判别法2)定理3qaxMxf)()(axNxf)(,1q瑕点,有有利用xaxbaqd)(11,q收敛1,q发散类似定理4与定理5，有如下的收敛判别法.使对一切充分接近a的x(xa).2020/2/1宁波大学教师教育学院16定理8.(极限判别法2)lxfaxqx)()(lim则有:1)当2)当例5.判别广义积分.lnd31的敛散性xx解:,1为瑕点此处x利用洛必达法则得根据极限判别法2,所给积分发散.2020/2/1宁波大学教师教育学院17例6.判定椭圆积分定理4)1()1)(1(d210222kxkxx敛性.解:,1为瑕点此处x由于的收12(1)x)1)(1(1222xkx)1)(1(1lim221xkxx)1(212k根据极限判别法2,椭圆积分收敛.2020/2/1宁波大学教师教育学院18类似定理6,有下列结论:,d)(baxxf收敛为瑕点)(a若广义积分例7.判别广义积分的收敛性.解:,d)(baxxf收敛称为绝对收敛.,0为瑕点此处x,0lnlim410xxx因,1ln,41xxx有的故对充分小从而1434lnlnxxxxx341x据比较判别法2,所给积分绝对收敛.则广义积分2020/2/1宁波大学教师教育学院19三、函数1.定义下面证明这个特殊函数在0s内收敛.1121011de,dexxIxxIxsxs.)11I讨论)0(de)(01sxxsxs令;,11是定积分时当Is,10时当sxsxsxxe11e11sx11,11s而.1收敛知2根据比较判别法I2020/2/1宁波大学教师教育学院20)e(1xsxxsxxelim1.)22I讨论0112dexxIxs.12收敛根据极限判别法I知综上所述,21)(IIs.0上收敛在s2020/2/1宁波大学教师教育学院212.性质(1)递推公式证:0de)1(xxsxs)0()()1(ssss(分部积分)0dexsx01dee0xxsxxsxs)(ss注意到:0de)1(xx1有,Nn)()1(nnn)1()1(nnn)1(!n2020/2/1宁波大学教师教育学院22(2)证:,)1()(sss.)(,0ss时当1)1(,0)(连续在且可证明ss)(,0ss时(3)余元公式:)10()sin(ππ)1()(ssss有时当,21s(证明略)2020/2/1宁波大学教师教育学院23(4)得令,2ux的其他形式)(s)0(de2)(0122suussu,12ts再令,21ts即得应用中常见的积分)1(2121de02ttuuut这表明左端的积分可用函数来计算.例如,2020/2/1宁波大学教师教育学院24四、*A-D判别法定理9条满若下列件之一足，(1)(Abel判别法)(2)(Dirichlet判别法)()():afxgxdx收敛都有(),afxdx敛收()gx在,a单调+∞上有界；()()AaFAfxdx[,)a在上有界，()[,)gxa在上单调且lim()0.xgx2020/2/1宁波大学教师教育学院25阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。阿贝尔在他的所有著作中都打下了天才的烙印和表现出了不起的思维能力。我们可以说他能够穿透一切障碍深入问题的根底，具有似乎无坚不摧的气势...。他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众，使他人品也像他的天才那样受到人们不同寻常的爱戴。”数学家们有法纪念他们中的伟人，我们常说阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔收敛判别法、阿贝尔可和性。很少有几个数学家能使他的名字同数学中的这么多概念和定理联系在一起。2020/2/1宁波大学教师教育学院26狄利克莱（Dirichlet）（1805-1859）德国数学家。解析数论的创始人之一。在数论方面关于Fermat方程，先后给出了n=5,n=14时无整数解的证明。他著有《数论讲义》（1863，遗著），对Gauss的《算术研究》作出了清楚的解释并有自己的独创。他证明了在任何算术序列{a+nb}(其中a与b互素)中，必存在无穷多个素数，这就是著名的Dirichlet定理。他在分析学和数学物理方面也有很多重大贡献。在1892年的论文“关于三角级数的收敛性”中得到给定函数f(x)的Fourier级数收敛的第一充分条件.这一研究还促使他将函数作了一般化推广。1829，他给出了具有典型意义的函数：称为Dirichlet函数。这一工作使得数学从研究函数的计算转变到研究函数的概念，性质和结构。他在1837年证明了：对一个绝对收敛级数，可以把它的项加以组合重新排列，而不改变原级数的和，并举例说明对一个条件收敛级数则不然。他修改了Gauss关于位函数论的一个原理，引入了所谓Dirichlet原理。还论述了著名的第一边值问题（现称为Dirichlet问题）。Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，直到逝世。2020/2/1宁波大学教师教育学院27例81sin.xdxx判别广义积分的收敛性解1sincos1cosAxdxA显然有界，11lim0,xxx单调且Dirichlet由判别法得，1sinxdxx收敛。2020/2/1宁波大学教师教育学院28例91sinarctan.xxdxx判别广义积分的收敛性解1sin8,xdxx由例，收敛arctan[1,)x又在单调有解，Abel由判别法得，1sinarctan.xxdxx收敛2020/2/1宁波大学教师教育学院29与定理9类似，我们有若下列两个条件之一满足，(1)(Abel判别法)(2)(Dirichlet判别法)()():bafxgxdx收敛都有(),bafxdx收敛()gx在[,)ab上单调有界；()()baFfxdx[,)ab在上有界，()[,)gxab在上单调且lim()0.xbgx10定理2020/2/1宁波大学教师教育学院30内容小结1.两类广义积分的比较判别法和极限判别法.2.若在同一积分式中出现两类广义积分,习题课可通过分项使每一项只含一种类型的广义积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.函数的定义及性质.思考与练习4.*A-D判别法2020/2/1宁波大学教师教育学院3110   1xdxx当为时广义积敛发？α何值，分收、散1111001111xxxdxdxdxx