§3 解三角形的实际应用举例

§3解三角形的实际应用举例1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关的实际问题.2.了解常用的相关测量术语.正弦定理sinsinsinabcABC2222222cos2cosbaccaBcababC2222cosabcbcA222222222cos2cos2cos2bcaAbccabBcaabcCabsin:sin:sin::ABCabc解三角形（六个元素）—知三求三ABCabc公式运用——知三求一余弦定理正弦定理、余弦定理是两个重要的定理.在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用.下面举例说明.解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素.2、要明确题目中一些名词、术语的意义.如视角，仰角，俯角，方位角等等.3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决.正弦定理余弦定理(1)已知两角和一边,求其他元素;2sinsinsinabcRABC2222coscababC(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和一边对角,求其他元素.(2)已知两边和它们的夹角,求其他元素.ABCABCABCABC例1自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杠BC的长度（如图所示）.已知车厢的最大仰角为60（指车厢AC与水平线夹角），油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m,计算BC的长度（结果精确到0.01ｍ）.BAC60620D问题转化为：已知ABC的两边AB=1.95m,AC=1.40m,夹角6620BAC，求BC的长.BC2=≈3.571，∴BC≈1.89(m)．答：顶杆BC约长1.89m．AB2+AC2-2AB·ACcosAABC60620Dm95.1m40.1221.951.4021.951.40cos6620解：由余弦定理，得例2如图，两点Ｃ，Ｄ与烟囱底部在同一水平直线上，在点Ｃ1，Ｄ1，利用高为1.5ｍ的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是＝45°和＝60°,Ｃ、Ｄ间的距离是12m.计算烟囱的高AB(结果精确到0.01m).DCBAA1C1D1测量高度问题m52.1B1AA1C1DDCh1AB求分析：如图所示，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可.解：在11BCD中，1118060120BDC，11604515CBD，由正弦定理得：1111111sinsinCDBCCBDBDC，1111111sin12sin120(18266)sinsin15CDBDCBCmCBD从而：112186328.3922ABBCm因此：1128.3921.529.89229.89ABABAAm答：烟囱的高约为29.89m.例3如图是曲柄连杆机构的示意图当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄在0CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在0A处。设连杆AB长为lmm，曲柄CB长为rmm，lr（1）当曲柄自0CB按顺时针方向旋转角为时，其中000360，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离0AA）；（2）当340mml，85mmr，080时，求0AA的长（结果精确到1mm）.800B0A0CBA分析：如图所示，不难得到，活塞移动的距离为00AAACAC易知0ACABBClr所以，只要求出AC的长即可，在ABC中，已知两边和其中一边的对角，可以通过正弦定理或余弦定理求出AC的长.解：（1）设ACx，若0，则00AA，若0180，则02rmmAA若0180，在ABC中，由余弦定理，得：2222cosABACBCACBCC即2222(cos)()0xrxlr解得：2222221cos(cos)(cossin)(mm)xrrlrrlr2222cos(cos)0xrrlr（不合题意，舍去）00AAACACABBCAC=222(cossin)(mm)lrrlr若180360则根据对称性，将上式中的改为360即可，有2220(cossin)(mm)AAlrrlr总之，当0360时，2220(cossin)(mm)AAlrrlr（2）当340lmm，85rmm，80时，利用计算器得：22203408585cos8034085sin8081(mm)AA答：此时活塞移动的距离约为81mm.例4：a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B,C分别在A的正东方20km和54km处，某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B,C到P的距离，并求x的值（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）北aPDCBA分析：（1）PA,PB,PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来（2）作PDa，垂足为D，要求PD的长，只需要求出PA的长和cosAPD，即cosPAB的值，由题意，,PAPBPCPB都是定值，因此，只需要分别在PAB和PAC中，求出cosPAB，cosPAC的表达式，建立方程即可.解：（1）依题意，1.5812(km)PAPB，1.52030(km)PCPB因此：(12)kmPBx，(18)kmPCx，在PAB中，20ABkm22222220(12)332cos22205PAABPBxxxPABPAABxx·同理：72cos3xPACx由于：coscosPABPAC即：3327253xxxx解得：132()7xkm（2）作PDa，垂足为D，在RtPDA中，coscosPDPAAPDPAPAB132332332717.71(km)55xxx答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km1、解决实际应用问题的关键思想方法是什么？2、解决实际应用问题的步骤是什么？实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验答：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想.1.我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看.ACB60°75°:60,75,45:10sin60sin4510sin6056()sin45ABCBCBC解由正弦定理得海里2.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东20°,30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东65°方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）解：AB=16，由正弦定理知：可求得BS≈7.7海里.答：灯塔S和B处的距离为7.7海里.16sin20sin45BSABS201154516？1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关的实际问题.2.了解常用的相关测量术语.3.体会数学应用题建模的过程.正直的人并不是渺小的，不要把谦虚和渺小、妄自菲薄混为一谈。——契诃夫