§3-8 抽样信号的傅里叶变换与抽样定理

1§3-8抽样信号的傅里叶变换与抽样定理一、抽样信号抽样保持量化编码解码滤波A/DD/A)(tx)(txs)(ts)(txt0)(tsTt1T2T3T3T2T)(txst0TT2T3T3T2T2这里“抽样”的实现可以描述为)()()(tstxtxs)(tx)(txs)(ts信号s(t)称为开关信号。上式关系可以用右图表示。根据开关信号的不同，可以产生不同的抽样信号。这里只介绍两种常见的抽样信号：理想抽样与自然抽样。理想抽样是不能实现的，但它在说明抽样定理时，有重要的理论价值，我们会经常用到它。自然抽样是一种现实的抽样，它不仅有理论价值，还有实用价值。3二、理想抽样上述开关函数s(t)若是单位冲激序列，抽样称为理想抽样。)()()(ttxtxTsnnTttx)()(设信号x(t)的傅里叶变换为)()(jXtxFT由傅里叶变换的频域卷积定理，抽样信号的傅里叶变换为ksssFTskjXjXtx)()(21)()()2(TsnnTtnTx)()()(tx)(txsnnTtts)()(于是，理想抽样信号为4kssskjXjX)()(2)(])([1kskjXT)(txt0)(tTtTTT2)1(0)(txstTTT20)(jXssss2T10)(jX0)}({tTℱsss2)(s05三、自然抽样上述开关函数s(t)若是周期性矩形脉冲，抽样称为自然抽样。于是，信号抽样的图形如下：)(txt0)(jX0)(tsTt1T2T3T3T2T)(jSss)(ss2)(jXsssTs2)(txst0TT2T3T3T2T6自然抽样信号及其傅里叶变换式)()()(tstxtxs)(21)(jXjXskssskkSajX)()2()(2])([)2(ksskjXkSaTkssskkSa)()2(7四、抽样定理以上有一组样本值：x(nT)，经过它可以连接成许多不同的信号。tTT2T3TT2)(Tx)2(Tx)3(Tx)(Tx)2(Tx)0(x一般地说，在没有任何附加条件或说明下，不可能指望一个信号能够唯一地由一组等间隔样值来表征。8抽样定理说：设信号x(t)是频域带限的，即|Ω|＞Ωm，X(jΩ)=0；以T为间隔，对x(t)等间隔抽样的样本值：x(nT)，当T≤π/Ωm时，就可用这些样本值唯一的表征信号x(t)；并且信号x(t)可以由这些样本值完全恢复出来。当T=π/Ωm时，称抽样间隔T为奈奎斯特间隔，fs=1/T称为奈奎斯特频率:fs=Ωm/π=2fm。下面，我们讨论理想抽样，在满足和不满足抽样定理时，信号时域频域的情况。此时mjX,0)()2(2msmsff9)(tTtTTT2)1(0)}({tTℱsss2)(s0)(txt0)(txstTTT20)(jXmm)(jXssss2T10mmnsnTtnTxtx)()()(])([1)(ksskjXTjX10)(tTtTTT2)1(0)(txt0)(txstTTT20如果不满足抽样定理，此时)2(2msmsff)}({tTℱss2s2)(ss)(jXmm1)(jXss2T1mms4s2s动态演示11当满足抽样定理时，让抽样信号通过截止频率为Ωc的理想低通滤波器(ΩmΩcΩs-Ωm)，就可以恢复原信号。)(tx)(txsnnTtts)()()(tx)(jH)]()([)(ccuuTjH)(jHT0cc理想低通滤波器的频率响应和单位冲激响应为：)()(tSaTthcc)(2tSacsc)(thtcT0cc12)(jXssss2T10mm)(jHT0cc)(jXmm1)()()(jHjXjXs根据卷积定理)()()(thtxtxs)(2])()([tSanTtnTxcscnncsctSanTtnTx)(2)()(ncscnTtSanTx)]([)(2若Ωs=2Ωc=2Ωm，ncnTtSanTxtx)]([)()(13)(txstTTT20)(jXssss2T10mm)(jHT0cc)(thtcT0cc)(jXmm1)(txstTTT20ncnTtSanTxtx)]([)()()()()(jHjXjXs动态演示14┌┼──┼┐┌──╯─╮┌─┐┐┌┐──┼─┌───┼┤┌┬┐┼─┐└──┘│────│┌─┴┴┴┐└─┬┼┬┘├─┐││││┌──┼─┐┌──┌─┐│┌──┐││││││││││└──┼─┘│││││││││││││││││┌──┼─┐││││└──╯│╭│││┐││├┘│││─┘└──├─╯└╯╰┘└─╯┘└╯╯└╯└╰┘└┴╯╯─╯，┌╮┐┌─┐╭─┐┌╮┐┌─┐╭─┐┌┼┼│││┌┼┼│││┌││└╮╯┌─┼──┐┌││└╮╯┌─┼──┐╰╰┴└╰┘││╰╰┴└╰┘││└──┼─┐││└──┼─┐││└──╯└╯└─╯└╯└──╯└╯└─╯└╯。练习：P95(5),P90例题35，P94例题3815一、一实值连续时间信号x(t)，基波周期T=8，已知其非0傅里叶系数：211AA4*33jAA写出指数形式和三角形式的傅里叶级数展开式，并画出双边与单边频谱图。二、已知)35sin(4)32cos(2)(tttx，求出Ω1，并将其写成指数级数形式。三、设系统的频率响应：)4(4)(SajH，已知：1])4()1(2[)(nnntutx试求系统响应y(t)。四、两系统对输入ej5t的响应分别是ej5(t-1)与cos5t，试问哪个系统是非线性的？五、一RL电路如图，输入为电流源is(t)，输出是电感中的电流io(t)，试：列出电路的输入输出方程，求出其频率响应，若输入x(t)=cost，求输出的时间函数。)(tis)(tio1H1六、周期性三角脉冲如图所示，试求其傅里叶级数展开式。)(txtET2T2TT第三章测试题（1,2题各5分，其他每小题10分）16七、设一实值因果信号x(t)的傅里叶变换为X(jΩ)，已知：ttjedejX2)}(Re{试求：x(t)。八、设y(t)=x(t)cost，且已知Y(jΩ)=u(Ω+2)-u(Ω-2)，试求：x(t)。九、设y(t)=2x1(t).x2(t)，且已知:)]1(2[21)(1tSatx)]1(23[23)(2tSatx试求下列各式：dtetytj)()()(,tSaty十、试利用傅里叶变换，证明：dtttsin十一、已知：ttSatxc0cos)()(，使其通过如下带通滤波器，求其输出y(t)。0c0c000)(t0)(0c00)(t)(jH1（设Ω0Ωc）