§3.4 奇 解

§3.4singularlysolution§3.4奇解/Singularlysolution/§3.4singularlysolution3.4奇解包络和奇解克莱罗方程（ClairantEquation）本节要求：1了解奇解的意义；2掌握求奇解的方法。主要内容§3.4singularlysolution一包络和奇解的定义曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。§3.4singularlysolution例单参数曲线族222Rycx)(R是常数，c是参数。xyo显然，Ry是曲线族的包络。222Rycx)(一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。§3.4singularlysolution二求奇解（包络线）的方法C-判别曲线法P-判别曲线法设一阶方程0),,(yyxF的通积分为。0),,(CyxΦ1C-判别曲线法结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组00),,(),,(CyxCyxCΦΦ消去C而得到的曲线中。§3.4singularlysolution00),,(),,(CyxCyxCΦΦ设由能确定出曲线为)(),(:CyyCxxL则0)),(),((CCyCxΦ对参数C求导数0)),(),(()()),(),(()()),(),((CCyCxCyCCyCxCxCCyCxCyxΦΦΦ从而得到恒等式0)()),(),(()()),(),((CyCCyCxCxCCyCxyxΦΦ§3.4singularlysolution0)()),(),(()()),(),((CyCCyCxCxCCyCxyxΦΦ当),,(),,,(CyxCyxyxΦΦ至少有一个不为零时有,)),(),(()),(),(()()(CCyCxCCyCxCxCyyxΦΦ或,)),(),(()),(),(()()(CCyCxCCyCxCyCxxyΦΦ这表明曲线L在其上每一点(x(C),y(C))处均与曲线族中对应于C的曲线相切。0),,(CyxΦ注意：C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。§3.4singularlysolution例1求直线族0pyxsincos的包络，这里是参数，p是常数。解：对参数求导数0cossinyx联立0pyxsincos0cossinyx022222cossincossinxyyx222222pxyyxcossinsincos相加，得222pyx，经检验，其是所求包络线。xyop§3.4singularlysolution例2求直线族03232)()(cxcy的包络，这里c是参数。解：对参数c求导数02)(cxcy联立03232)()(cxcy02)(cxcy得0323])[()(cxcx从得到0cxxy从得到92xy032)(cx因此，C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验，是所求包络线。92xy§3.4singularlysolutionxyoxy92xy§3.4singularlysolution2p-判别曲线结论：方程的奇解包含在下列方程组00),,(),,(pyxFpyxFp0),,(yyxF消去p而得到的曲线中。注意：p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。§3.4singularlysolution例3求方程0122ydxdy的奇解。解：从消去p，得到p-判别曲线经检验，它们是方程的奇解。020122pyp1y因为易求得原方程的通解为)sin(cxy而是方程的解，且正好是通解的包络。1y§3.4singularlysolution例4求方程22dxdydxdyxy的奇解。解：从消去p，得到p-判别曲线经检验，不是方程的解，故此方程没有奇解。02222pxpxpy2xy注意：以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。§3.4singularlysolution3克莱罗方程形式)(pfxpy其中)(,pfdxdyp是p的连续函数。解法ppfpxpp)(0ppfx))((0pcp)(cfcxy)()()(pppfypfx通解奇解§3.4singularlysolution例5求解方程pxpy1解：这是克莱罗方程，因而其通解为消去c，得到奇解xy42cxcy1cxcycx1012从§3.4singularlysolution例6求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。解设要求的曲线为)(xyy过曲线任上一点的切线方程为),(yxyxXxyY))((其与坐标轴的交点为),(yyxxyy切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为221))((yyxxyy§3.4singularlysolution221))((yyxxyyyyxy42)(yyxy2yyxy2这是克莱罗方程，因而其通解为112cxcyxcc22消去c，得到奇解1xy从02222cxxccy这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。§3.4singularlysolution课堂练习：1求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴的两截距之和等于常数a。2求解方程，并划出积分曲线图。211)()(dxdydxdyxy022ydxdyxdxdy)()(作业：（一）1，2，7，8，（二）1，3，（四）