高考压轴题数列

taoti.tl100.com你的首选资源互助社区2010高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD）第六章数列2009年高考题三、解答题22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}na中，11111,(1)2nnnnaaan（I）设nnabn，求数列{}nb的通项公式（II）求数列{}na的前n项和nS分析：（I）由已知有1112nnnaann112nnnbb利用累差迭加即可求出数列{}nb的通项公式:1122nnb(*nN)（II）由（I）知122nnnan,nS=11(2)2nkkkk111(2)2nnkkkkk而1(2)(1)nkknn,又112nkkk是一个典型的错位相减法模型，易得1112422nknkknnS=(1)nn1242nn评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。23.（2009北京理）已知数集1212,,1,2nnAaaaaaan具有性质P；对任意的,1ijijn，ijaa与jiaa两数中至少有一个属于A.（Ⅰ）分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a，且1211112nnnaaaaaaa；（Ⅲ）证明：当5n时，12345,,,,aaaaa成等比数列.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34与43均不属于数集1,3,4，∴该数集不具有性质P.由于66123612,13,16,23,,,,,,231236都属于数集1,2,3,6，∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵12,,nAaaa具有性质P，∴nnaa与nnaa中至少有一个属于A，由于121naaa，∴nnnaaa，故nnaaA.从而1nnaAa，∴11a.∵121naaa，∴knnaaa，故2,3,,knaaAkn.由A具有性质P可知1,2,3,,nkaAkna.又∵121nnnnnnaaaaaaaa，∴211211,,,nnnnnnnnaaaaaaaaaaa，从而121121nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa，∴1211112nnnaaaaaaa.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n时，有552343,aaaaaa，即25243aaaa，∵1251aaa，∴34245aaaaa，∴34aaA，由A具有性质P可知43aAa.2243aaa，得3423aaAaa，且3221aaa，∴34232aaaaa，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区∴534224321aaaaaaaaa，即12345,,,,aaaaa是首项为1，公比为2a成等比数列.24.（2009江苏卷）设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足222223457,7aaaaS。（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项。【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433()()daadaa，因为0d，所以430aa，即1250ad，又由77S得176772ad，解得15a，2d,(2)（方法一）12mmmaaa=(27)(25)23mmm,设23mt，则12mmmaaa=(4)(2)86ttttt,所以t为8的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86mmmmmmmmaaaaaaaa为数列na中的项，故m+28a为整数，又由（1）知：2ma为奇数，所以2231,1,2mamm即经检验，符合题意的正整数只有2m。25（2009江苏卷）对于正整数n≥2，用nT表示关于x的一元二次方程220xaxb有实数根的有序数组(,)ab的组数，其中,1,2,,abn（a和b可以相等）；对于随机选取的,1,2,,abn（a和b可以相等），记nP为关于x的一元二次方程220xaxb有实数根的概率。（1）求2nT和2nP；taoti.tl100.com你的首选资源互助社区（2）求证：对任意正整数n≥2，有11nPn.【解析】[必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。26.（2009山东卷理)等比数列{na}的前n项和为nS，已知对任意的nN，点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记22(log1)()nnbanN证明：对任意的nN，不等式1212111·······1nnbbbnbbb成立解:因为对任意的nN,点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数的图像上.所以得nnSbr,当1n时,11aSbr,当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb,又因为{na}为等比数列,所以1r,公比为b,1(1)nnabb（2）当b=2时，11(1)2nnnabb,1222(log1)2(log21)2nnnban则1212nnbnbn,所以121211135721·······2462nnbbbnbbbntaoti.tl100.com你的首选资源互助社区下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462nnbbbnnbbbn成立.①当1n时,左边=32,右边=2,因为322,所以不等式成立.②假设当nk时不等式成立,即121211135721·······12462kkbbbkkbbbk成立.则当1nk时,左边=11212111113572123·······246222kkkkbbbbkkbbbbkk2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk所以当1nk时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS求na的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.27.（2009广东卷理）知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn．从点(1,0)P向曲线nC引斜率为(0)nnkk的切线nl，切点为(,)nnnPxy．（1）求数列{}{}nnxy与的通项公式；（2）证明：1352112sin1nnnnnxxxxxxxy.解：（1）设直线nl：)1(xkyn，联立0222ynxx得0)22()1(2222nnnkxnkxk，则0)1(4)22(2222nnnkknk，∴12nnkn（12nn舍去）22222)1(1nnkkxnnn，即1nnxn，∴112)1(nnnxkynnn（2）证明：∵121111111nnnnnxxnntaoti.tl100.com你的首选资源互助社区12112125331212432112531nnnnnxxxxn∴nnnxxxxxx1112531由于nnnnxxnyx11121，可令函数xxxfsin2)(，则xxfcos21)('，令0)('xf，得22cosx，给定区间)4,0(，则有0)('xf，则函数)(xf在)4,0(上单调递减，∴0)0()(fxf，即xxsin2在)4,0(恒成立，又4311210n，则有121sin2121nn，即nnnnyxxxsin211.28（2009安徽卷理）首项为正数的数列na满足211(3),.4nnaanN（I）证明：若1a为奇数，则对一切2,nna都是奇数；（II）若对一切nN都有1nnaa，求1a的取值范围.解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。解：（I）已知1a是奇数，假设21kam是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得213(1)14kkaamm是奇数。根据数学归纳法，对任何nN，na都是奇数。（II）（方法一）由11(1)(3)4nnnnaaaa知，1nnaa当且仅当1na或3na。另一方面，若01,ka则113014ka；若3ka，则21333.4ka根据数学归纳法，1101,01,;33,.nnaanNaanN综合所述，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a。taoti.tl100.com你的首选资源互助社区（方法二）由21213,4aaa得211430,aa于是101a或13a。22111133()(),444nnnnnnnnaaaaaaaa因为21130,,4nnaaa所以所有的na均大于0，因此1nnaa与1nnaa同号。根据数学归纳法，nN，1nnaa与21aa同号。因此，对一切nN都有1nnaa的充要条件是101a或13a。29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列{}na，12,aaab，且对满足mnpq的正整数,,,mnpq都有.(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaaaaaa（1）当14,25ab时，求通项;na（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数，使得对于每个正整数n，都有1.na解：（1）由(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaaaaaa得121121.(1)(1)(1)(1)nnnnaaaaaaaa将1214,25aa代入化简得1121.2nnnaaa所以11111,131nnnnaaaa故数列1{}1nnaa为等比数列，从而11,13nnnaa即31.31nnna可验证，3131nnna满足题设条件.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区(2)由题设(1)(1)mnmnaaaa的值仅与mn有关,记为,mnb则111.(1)(1)(1)(1)nnnnnaaaabaaaa考察函数()(0)(1)(1)axfxxax,则在定义域上有1,111()(),12,011aafxgaaaaa故对*nN，1()nbga恒成立.又222()(1)nnnabgaa,注意到10()2ga,解上式得1()12()1()1