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第一章把握热点考向理解教材新知应用创新演练1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件知识点一知识点二考点一考点二考点三1．3.1推出与充分条件、必要条件1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关．问题1：A开关闭合时B灯一定亮吗？充分条件和必要条件提示：一定亮．问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C开关闭合．命题“如果p，则q”为真命题，是指当p成立时，，我们就说由p可以推出q，记作“”，读作“”，这时称p是q的条件，q是p的条件.q一定成立p⇒qp推出q充分必要充要条件如图是一物理电路图．问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？提示：一定闭合．问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？提示：p⇔q.如果且，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作.p是q的充要条件，又常说成或．p⇒qp与q等价p⇔qq⇒pq当且仅当p1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．3．当命题“如果p，则q”是假命题时，就说由p不能推出q.记作p⇒/q，读作“p不能推出q”．充分条件、必要条件、充要条件的判断[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A∠B，q：BCAC.(2)对于实数x，y，p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6.(3)在△ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtanB.(4)已知x，y∈R.p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论．[精解详析](1)在△ABC中，显然有∠A∠B⇔BCAC，所以p是q的充要条件．(2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，但x＋y＝8⇒/x＝2且y＝6，所以p是q的必要不充分条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件．[一点通]要判断p是q的什么条件，只要判断两个命题“若p，则q”和“若q，则p”的真假即可：①若p⇒q且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；②若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．(安徽高考)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由(2x－1)x＝0，得x＝12或x＝0.故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分条件．答案：B2．(天津高考)设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为a2≥0，而(a－b)a2＜0，所以a－b＜0，即a＜b;由a＜b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0，(a－b)a2可以为0，所以“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．答案：A根据充分条件、必要条件求参数的取值范围[例2]已知p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．[思路点拨]解决本题可先求出p和q成立的条件，再利用p⇒q求得a的范围．[精解详析]由x2－4ax＋3a20且a0得，3axa，令A＝{x|3axa}，由x2－x－6≤0得，－2≤x≤3，令B＝{x|－2≤x≤3}，∵p⇒q，q⇒/p，∴AB，∴3a≥－2，a≤3，a0.解得－23≤a0，∴a的取值范围是－23，0.[一点通]根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p、q等价变形，并把充分条件、必要条件、充要条件转化为集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．3．已知P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|x2－4x＋30}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．解：由题意知，Q＝{x|1x3}，QP，所以a－4＜1，a＋4≥3，或a－4≤1，a＋4＞3，解得－1≤a≤5.故实数a的取值范围是[－1,5]．4．已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时，(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的充要条件．解：由p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，由q：B＝[1,2]．(1)∵p是q的充分不必要条件，∴AB，当A＝{1}时，a＝1；当A＝[1，a]时，1a2，故1≤a2.(2)∵p是q的必要不充分条件，∴BA，故A＝[1，a]且a2⇒a2.(3)∵p是q的充要条件，∴A＝B⇒a＝2.充要条件的证明和求解[例3](12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.[精解详析]充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得(6分)ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.(12分)[一点通](1)在证明充要条件问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”就是p⇒q.若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立，若直接证明不易证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后再加以证明．5．关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有异号两根的充要条件是_____．解析：方程ax2＋2x＋1＝0有异号两根⇔1a0⇔a0.答案：a06．已知x，y都是非零实数，且xy，求证：1x1y的充要条件是xy0.证明：(1)必要性：由1x1y，得1x－1y0，即y－xxy0，又由xy，得y－x0，所以xy0.(2)充分性：由xy0，及xy，得xxyyxy，即1x1y.综上所述，1x1y的充要条件是xy0.1．判断充分、必要条件问题时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．判断命题“若p，则q”及“若q，则p”的真假，常用的方法有以下两种：(1)定义法(直接法)条件p与结论q的关系结论p⇒q，但q⇒/pp是q成立的充分不必要条件q⇒p，但p⇒/qp是q成立的必要不充分条件p⇒q，q⇒p，即p⇔qp是q成立的充要条件p⇒/q，q⇒/pp是q成立的既不充分也不必要条件(2)集合法．设p、q对应的集合分别为A、B.若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⃘B，且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑问题．