2017_18学年高中数学第一章基本初等函数Ⅱ1.3.3已知三角函数值求角课件

预习课本P57～60，思考并完成以下问题1．3.3已知三角函数值求角已知三角函数值求角的概念是什么？[新知初探]已知三角函数值求角的相关概念(1)已知正弦值求角．对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在___________上有唯一的x值和它对应，记为x＝_________其中－1≤y≤1，－π2≤x≤π2.－π2，π2arcsiny(2)已知余弦值求角．对于余弦函数y＝cosx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在______上有唯一的x值和它对应，记作x＝(－1≤y≤1,0≤x≤π)．(3)已知正切值求角．如果正切函数y＝tanx(y∈R)，且x∈－π2，π2，那么对每一个正切值y，在开区间_________内，有且只有一个角x，使tanx＝y，记为x＝______________________.arcosy[0，π]－π2，π2arctany，x∈－π2，π2[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)arcsin13表示0，π2上的一个角．()(2)若cosα＝14，α∈[π，2π]，则α＝arccos14.()(3)若tanα＝1，则α＝π4或54π.()答案：(1)√(2)×(3)×2．已知α是三角形的内角，且sinα＝22，则角α等于()A.π4B.3π4C.π4或3π4D.5π6答案：C3．设cosα＝－16，α∈(0，π)，则α的值可表示为()A．arccos16B．－arccos16C．π－arccos16D．π＋arccos16解析：选C∵π－arccos16∈(0，π)，且cosπ－arccos16＝－cosarccos16＝－16，∴α＝π－arccos16.4．arctan(－1)＝________.答案：－π4[典例]已知sinx＝33，根据下列角的范围求角x(用arcsiny表示)．(1)x∈－π2，π2；(2)x∈[0,2π]．已知正弦值求角[解](1)∵x∈－π2，π2且sinx＝33，∴x＝arcsin33.(2)∵x∈[0,2π]，sinx＝330，∴x∈[0，π]．当x∈0，π2－π2，π2时，x＝arcsin33.当x∈π2，π时，∵0≤π－x≤π2，即π－x∈0，π2－π2，π2，且sin(π－x)＝sinx＝33，∴π－x＝arcsin33，即x＝π－arcsin33.∴当x∈[0,2π]时，x＝arcsin33或x＝π－arcsin33.已知三角函数值求角的步骤(1)定象限：由已知函数值的正负确定角所在的象限．(2)找锐角：如果函数值为正，先求出对应的锐角α；若函数值为负值，则先求出与其绝对值相对应的锐角α.(3)求符合条件的角：根据角所在的象限，利用诱导公式写出[0,2π]范围内的角(α，π－α，π＋α，2π－α)；如果要求出[0,2π]范围外的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果．[活学活用]解：(1)∵x∈－π2，π2，sinx＝32，∴x＝arcsin32，在－π2，π2上只有sinπ3＝32.∴x＝π3，即x的取值集合为π3.已知sinx＝32，求满足下列条件的x的取值集合：(1)x∈－π2，π2；(2)x∈π2，3π2；(3)x∈[0,2π](2)∵π2≤x≤3π2，∴－π2≤x－π≤π2.又∵sin(x－π)＝－sinx＝－32，∴x－π＝arcsin－32＝－arcsin32，∴x－π＝－π3，∴x＝2π3，故x的取值集合为2π3.(3)∵sinx＝32＞0，∴x为第一或第二象限的角．又∵sinπ3＝sinπ－π3＝32，∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝π3或x＝2π3，∴x的取值集合为π3，2π3.已知余弦值、正切值求角[典例](1)若tanx＝－3，且x∈π2，3π2，则x的值是()A．arctan(－3)B．arctan3C．π－arctan3D．π－arctan(－3)(2)已知cosα＝－15，α∈π，3π2，则α＝________.[解析](1)因为x∈π2，3π2，所以π－x∈－π2，π2.又tan(π－x)＝3，所以π－x＝arctan3.所以x＝π－arctan3.故选C.(2)由余弦函数在[0，π]上是减函数和cosα＝－15可知，在[0，π]内符合条件的角有且只有一个arccos－15，即arccos－15∈[0，π]．又∵cosα＝－15＜0，∴arccos－15∈π2，π.∴0＜π－arccos－15＜π2.∴π＜π＋π－arccos－15＜3π2，即π＜2π－arccos－15＜3π2.∴α＝2π－arccos－15.[答案](1)C(2)2π－arccos－15三角函数值与角之间的对应关系(1)余弦函数值与角之间的对应关系.x∈[0，π]x∈[0,2π]cosx＝a(|a|≤1)x＝arccosax1＝arccosax2＝2π－arccosa(2)正切函数值与角之间的对应关系.x∈－π2，π2x∈[0,2π)x≠π2且x≠3π2a≥0a＜0tanx＝a(a∈R)x＝arctanax1＝arctanax2＝π＋arctanax1＝π＋arctanax2＝2π＋arctana1．已知cosx＝22，3π2x2π，则x＝________.[活学活用]解析：∵cosx＝22，3π2x2π，由cos2π－π4＝cosπ4＝22知，x＝2π－π4＝7π4，∴符合条件的角为7π4.答案：74π2.arcsin32－arccos－12arctan－3＝________.解析：∵arcsin32＝π3，arccos－12＝2π3，arctan(－3)＝－π3，∴原式＝π3－2π3－π3＝－π3－π3＝1.答案：13．已知tanx＝12，x∈[0,2π]，求角x.解：由tanx＝12，x∈[0,2π]，知x在第一或第三象限，故所求的值有两个：x＝arctan12或x＝π＋arctan12.