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第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点：1.命题及其关系；充分条件与必要条件.01突破点(一)命题及其关系02突破点(二)充分条件与必要条件03全国卷5年真题集中演练——明规律课时达标检测0401突破点(一)命题及其关系[基本知识]完成情况抓牢双基·自学区1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做．判断真假真命题假命题2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__________．相同没有关系[基本能力]1．判断题(1)“x2＋2x－30”是命题.()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()××2．填空题(1)“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案：2(2)命题“若x1，则x0”的否命题是___________________．答案：若x≤1，则x≤0(3)设m∈R，命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是___________________________________________．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0(4)有下列几个命题：①“若ab，则1a1b”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x24，则－2x2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则1a≤1b”，假命题．②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：②③[全析考法]完成情况研透高考·讲练区[例1]下列命题中为真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若xy，则x2y2[解析]取x＝－1，排除B；取x＝y＝－1，排除C；取x＝－2，y＝－1，排除D.[答案]A命题的真假判断判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．[方法技巧]四种命题的关系由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2](1)(2018·西安八校联考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定(2)原命题为“若an＋an＋12an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[解析](1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．(2)原命题即“若an＋1an，n∈N*，则{an}为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{an}为递减数列，n∈N*，则an＋1an”为真命题，所以否命题也为真命题．[答案](1)B(2)A1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．[方法技巧][全练题点]1.[考点一]下列命题中为真命题的是()A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点C．互相包含的两个集合相等D．空集是任何集合的真子集解析：A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a0，即a－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．答案：C2.[考点二](2018·河北承德模拟)已知命题α：如果x3，那么x5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确，故选A.答案：A3.[考点一、二](2018·黄冈调研)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．答案：C4.[考点一、二]有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③02突破点(二)充分条件与必要条件[基本知识]完成情况抓牢双基·自学区1．充分条件与必要条件的概念若p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件p是q的条件p⇒q且qpp是q的条件pq且q⇒pp是q的条件p⇔qp是q的条件pq且qp充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.充分条件与必要条件和集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件ABp是q的必要不充分条件BAp是q的充要条件AB＝[基本能力]1．判断题(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件．()×√√2．填空题(1)若x∈R，则“x1”是“1x1”的____________条件．答案：充分不必要(2)设x0，y∈R，则“xy”是“x|y|”成立的________条件．答案：必要不充分(3)在△ABC中，A＝B是tanA＝tanB的________条件．答案：充要(4)设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．答案：充分充要[全析考法]完成情况研透高考·讲练区[例1](1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4＋S62S5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件充分条件与必要条件的判断[解析](1)因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d0⇔S4＋S62S5.(2)∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ0，n≠0时，m·n0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉0⇔cos〈m，n〉0⇔〈m，n〉∈π2，π，当〈m，n〉∈π2，π时，m，n不共线．故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n0”的充分而不必要条件．[答案](1)C(2)A[方法技巧]充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．[例2]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．要条件求参数范围[解析]由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，解得0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．[答案][0,3][方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[全练题点]1.[考点一](2018·长沙四校联考)“x1”是“log2(x－1)0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由log2(x－1)0得0x－11，即1x2，故“x1”是“log2(x－1)0”的必要不充分条件，选B.答案：B2.已知“xk”是“3x＋11”的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞)B．[1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，－1]解析：由3x＋11，得3x＋1－1＝－x＋2x＋10，解得x－1或x2.因为“xk”是“3x＋11”的充分不必要条件，所以k≥2.答案：A[考点二]3.(2017·天津高考)设θ∈R，则“θ－π12π12”是“sinθ12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：法一：由θ－π12π12，得0θπ6，故sinθ12.由sinθ12，得－7π6＋2kπθπ6＋2kπ，k∈Z，推不出“θ－π12π12”．故“θ－π12π12”是“sinθ12”的充分而不必要条件．[考点一]法二：θ－π12π12⇒0θπ6⇒sinθ12，而当sinθ12时，取θ＝－π6，－π6－π12＝π4π12.故“θ－π12π12”是“sinθ12”的充分