反证法

2.2.2反证法2.2直接证明与间接证明问题提出1.综合法和分析法的基本含义分别是什么？综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、性质、法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出所证结论成立.分析法：从所证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知条件、定义、公理、定理、性质、法则等）为止.2.综合法是从条件→结论的推理方法，分析法是从结论→条件的推理方法，二者都是直接证明的方法.当某些数学命题难以直接证明时，我们可以采用一种间接证明的方法反证法.探究（一）：硬币翻转问题【背景问题】桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转其中2枚硬币，观察反面朝上的硬币数如何变化.思考1：若双手各翻转1次，则反面朝上的硬币数为多少？2枚思考2：若双手各翻转2次，3次。4次，则反面朝上的硬币数分别为多少？0枚或2枚思考3：由归纳推理可得什么猜想？猜想：无论怎样翻转，都不能使只有1枚硬币反面朝上或3枚硬币全部反面朝上.思考4：如何证明上述猜想？假设经过若干次翻转可以使只有1枚硬币反面朝上，因为每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，需要翻转奇数次，则这枚硬币需要翻转奇数次，其余2枚硬币需要翻转偶数次，所以翻转的总次数必为奇数.但由于每次用双手同时翻转其中2枚硬币，若干次翻转的总次数必为偶数，所以翻转的总次数矛盾！故假设不成立，即无论怎样翻转，都不能使只有1枚硬币反面朝上.同理，也不能使3枚硬币全部反面朝上.探究（二）：反证法的基本思想思考1：上述证明方法叫做反证法，一般地，反证法的的基本含义是什么？假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.思考2：如何用反证法证明是无理数？2思考3：用反证法证题的核心问题是什么？在正确的推理下得出矛盾.思考4：在反证法应用中，矛盾的构设有哪几种情形？（1）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾；（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；（4）与客观事实矛盾.思考5：反证法是否等同于证明原命题的逆否命题？例1已知直线a，b和平面α，如果，,且a//b，求证：a//α.,abaa颂理论迁移abαβ例2设a，b，c为一个三角形的三边，，若s2＝2ab，求证：s＜2a.1()2sabc=++例3已知x，y＞0，且x＋y＞2，求证：中至少有一个小于2.11,xyyx++小结作业1.反证法是一种间接证明的方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，其基本思路是：假设结论不成立→构设矛盾→否定假设肯定结论.2.反证法主要适用于以下两种情形：（1）所证的结论与条件之间的联系不明显，直接有条件推出结论线索不清晰；（2）从正面入手需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少的几种情形.作业：P91练习：1，2.P91习题2.2A组：1，4.推理与证明习题课例1已知数列满足：，试猜测数列的通项公式，并证明你的结论.1112,2(2)nnaana1nnan例2过椭圆的左焦点F，任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB.（1）若在x轴上存在点M，使得∠AMB被x轴平分，求点M的坐标；（2）试根据合情推理给出椭圆性质的一个猜想，并证明之.2215xy+=5(,0)2M-xyOFABM猜想：过椭圆的左焦点F，任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，椭圆的左准线与x轴的交点为M，则∠AMB被x轴平分.22221(0)xyabab+=xyOFABMDC例3在△ABC中，求证：2229sinsinsin4ABC++?例4求证：面积为1的三角形不能被面积小于2的平行四边形所覆盖.ABCDMNPEFK