中考数学第一轮复习精品讲解第一单元数与式(整式及因式分解)

新课标数学第1讲实数的有关概念第2讲实数的运算与实数的大小比较第3讲整式及因式分解第4讲分式第5讲数的开方及二次根式·新课标·新课标第3讲│整式及因式分解第3讲整式及因式分解·新课标第3讲│考点随堂练│考点随堂练│考点1整式的加减单项式单项式的系数指单项式的______________，单项式的次数是指______________．多项式的项是____________________________________，多项式的次数是__________________．多项式多项式的排列包括__________和__________．去括号与添括号时要特别注意的是如果括号前边是“－”号，各项要________符号．合并同类项：将同类项的______相加，字母及其字母指数______．整式的加减整式的加减：先去括号，然后合并多项式中的同类项.不变数字因数字母的指数和组成多项式的每个单项式升幂排列降幂排列改变次数最高项的次数系数·新课标第3讲│考点随堂练1.下列说法正确的是()A．单项式－67ab的系数是－67，次数是2B．单项式a的系数是1，次数是0C．单项式－5xy2的系数是－5，次数是2D．2πr2的系数是2，次数是32．多项式5x3y2－2y4－xy＋x4是______次______项式，它的最高次项是______，二次项系数为______，把这个多项式按y降幂排列得_________________________________．[解析]－67ab中的数字因数是－67，所以系数为－67，次数为1＋1＝2.－2y4＋5x3y2－xy＋x4A五四5x3y2－1·新课标第3讲│考点随堂练3．已知一个三角形三边长分别为3x2－5x，x2＋4，5x－1.(1)用含x的代数式表示三角形的周长；(2)当x＝2时，求这个三角形的周长．解：(1)三角形的周长为3x2－5x＋x2＋4＋5x－1＝4x2＋3；(2)当x＝2时，三角形的周长为4x2＋3＝4×22＋3＝19.·新课标第3讲│考点随堂练考点2整式除法幂的运算幂的运算包括：_______________、________________、__________________、___________________.单项式除以单项式将单项式的系数和同底数的幂__________，只在被除式中出现的字母___________________________．整式除法多项式除以单项式用多项式的每一项除以________，再把所得的结果________．平方差公式(a＋b)(a－b)＝__________.乘法公式完全平方公式(a±b)2＝__________.a2±2ab＋b2同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法分别相除连同其指数作为商的一个因式单项式相加a2－b2·新课标第3讲│考点随堂练4．下列计算正确的是()A．a2·a3＝a6B．a3÷a＝a3C．(a3)5＝a15D．(3a2)4＝9a45．已知a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是()A．6B．2m－8C．2mD．－2m[解析]根据幂的运算法则进行计算．[解析](a－2)(b－2)＝ab－2a－2b＋4＝ab－2(a＋b)＋4＝－4－2m＋4＝－2m.CD·新课标第3讲│考点随堂练6．先化简，再求值：[(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷x，其中x＝－1，y＝12.解：原式＝(x2－2xy＋y2＋x2－y2)÷x＝(2x2－2xy)÷x＝2x－2y.当x＝－1，y＝12时，2x－2y＝－2－1＝－3.·新课标第3讲│考点随堂练考点3因式分解因式分解的定义将多项式分解成_______________的形式叫做因式分解．提公因式法am＋bm＋cm＝____________.a2－b2＝_______________.因式分解的方法公式法a2±2ab＋b2＝_____________.(a±b)2几个整式的积m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)·新课标第3讲│考点随堂练7.下列从左到右的变形，属于因式分解的是()A．(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6B．ax－ay＋1＝a(x－y)＋1C．8a2b3＝2a2·4b3D．x2－4＝(x＋2)(x－2)[解析]因式分解是将多项式变成几个整式的积的形式．D·新课标第3讲│考点随堂练8．下列二次三项式是完全平方式的是()A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16D．x2＋4x＋16[解析]形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式，其结构特征有二：一是含有两数的平方和，由此可排除A，C两项；二是含有这两数之积的2倍，由此可排除D；B中x2＋8x＋16＝(x＋4)2，故选B.B·新课标第3讲│考点随堂练9．把下列各式分解因式：(1)x2－xy＝________；(2)4x2－16＝_____________；(3)2x2＋4x＋2＝_____________.10．分解因式或利用因式分解计算．(1)10012－2002＋1；(2)a2－1＋b2－2ab.解：(1)10012－2002＋1＝10012－2×1001×1＋12＝(1001－1)2＝1000000.(2)a2－1＋b2－2ab＝(a2－2ab＋b2)－1＝(a－b)2－1＝(a－b＋1)(a－b－1)．2(x＋1)2x(x－y)4(x＋2)(x－2)·新课标第3讲│考点随堂练·新课标第3讲│归类示例归类示例类型之一等式的概念和等式的性质命题角度：1．同类项的概念2．由同类项的概念通过列方程组求解同类项指数的字母的值若3xm＋5y2与x3yn的和是单项式，则nm＝________.14·新课标第3讲│归类示例[解析]依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的指数相同列方程，得m＋5＝3，2＝n.∴m＝－2，n＝2.∴nm＝2－2＝14.·新课标第3讲│归类示例(1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同；第二，相同字母的指数相同，两者缺一不可．(2)根据同类项概念：相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．·新课标第3讲│归类示例类型之二整式的运算命题角度：1．整式的加、减、乘、除运算2．乘法公式[2011·成都]下列计算正确的是()A．x＋x＝x2B．x·x＝2xC．(x2)3＝x5D．x3÷x＝x2D·新课标第3讲│归类示例[解析]A是合并同类项，应为2x；B是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为x2；C是幂的乘方，底数不变，指数相乘，应为x6；D是同底数幂的除法，底数不变，指数相减．故选D.·新课标第3讲│归类示例(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号．(2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如a3·a5＝a8和a3＋a3＝2a3.(am)n和an·am也易混淆．(3)单项式的除法：关键是注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义，如6a5÷3a2＝(6÷3)a5－2＝2a3，一定不能把同底数幂的指数相除．·新课标第3讲│归类示例[2011·绍兴]先化简，再求值：a(a－2b)＋2(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2，其中a＝－12，b＝1.解：a(a－2b)＋2(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2＝4a2－b2，当a＝－12，b＝1时，原式＝0.·新课标第3讲│归类示例[2010·巴中]若2x－y＋y＋2＝0，求代数式x－y2＋x＋yx－y÷2x的值．解：[(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x＝(x2－2xy＋y2＋x2－y2)÷2x＝(2x2－2xy)÷2x＝x－y.由2x－y＋|y＋2|＝0得2x－y＝0，y＋2＝0，解得x＝－1，y＝－2.把x＝－1，y＝－2代入，得x－y＝－1－(－2)＝1.·新课标第3讲│归类示例(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想．(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．·新课标第3讲│归类示例类型之三因式分解命题角度：1．因式分解的概念2．提取公因式法因式分解3．运用公式法因式分解：(1)平方差公式；(2)完全平方公式[2011·凉山州]分解因式：－a3＋a2b－14ab2＝____________.－aa－12b2·新课标第3讲│归类示例[解析]先提取公因式－a，再利用公式法因式分解．原式＝－aa2－ab＋14b2＝－aa－12b2.·新课标第3讲│归类示例(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提取公因式时，若括号内合并的项有公因式，应再次提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点．(4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止．·新课标第3讲│归类示例类型之四因式分解的应用命题角度：1．利用因式分解进行计算与化简2．利用几何图形验证因式分解公式[2010·达州]如图3－1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为()C·新课标第3讲│归类示例图3－1A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．a2＋ab＝a(a＋b)·新课标第3讲│归类示例(1)通过拼图的方法可验证平方差公式和完全平方公式，关键是能准确计算阴影部分的面积．(2)利用因式分解进行计算与化简，先把要求的代数式进行因式分解，再代入已知条件计算．[解析]利用两个图形面积相等的关系建立等量关系．·新课标第3讲│归类示例类型之五整式的创新应用命题角度：1．整式的规律性问题2．利用整式的运算验证公式或等式3．新定义运算[2011·汕头]图3－2是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答．·新课标第3讲│归类示例123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536…图3－2(1)表中第8行的最后一个数是________，它是自然数________的平方，第8行共有________个数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_____________，最后一个数是________，第n行共有________个数；(3)求第n行各数之和．64815(n－1)2＋1n22n－1·新课标第3讲│归类示例解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述．解：(3)第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×13；类似地，第n行各数之和等于(2n－1)(n2－n＋1)＝2n3－3n2＋3n－1.·新课标[2010·佛山]新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些旧知识的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识．(1)多项式乘以多项式的法则是第几类知识？(2)在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些(写出三条即可)?(3)请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则是如何获得的(用(a＋b)(c＋d)来说明)?第3讲│归类示例·新课标解：(1)是第二类知识．(2)单项式乘以多项式(分配律)，字母表示数，数可以表示线段的长或图形的面积等．(3)用数来说明：(a＋b)(c＋d)＝(a＋b)c＋(a＋b)d＝ac＋bc＋ad＋bd；用形来说明：如图，边长为a＋b和c＋d的矩形，分割前后的面积相等，即(a＋b)(c＋d)＝ac＋bc＋ad＋bd.第3讲│归类示例