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第22讲全等三角形第23讲形似三角形及其应用·新课标第22讲│全等三角形第22讲全等三角形·新课标第22讲│考点随堂练│考点随堂练│考点1全等三角形的定义及其性质定义如果两个三角形能够完全______，那么这两个三角形全等，即对应边______，对应角______的三角形全等．SAS两个三角形有两边及其______对应相等，这两个三角形全等．ASA两个三角形有两个角及其这两角的______对应相等，这两个三角形全等．AAS两个三角形有两个角及其中一角的______对应相等，这两个三角形全等．SSS两三角形______对应相等，两三角形全等．判定定理HL两直角三角形，斜边和直角边对应相等，两直角三角形全等.三边重合相等相等夹角夹边对边·新课标第22讲│考点随堂练1.[2011·江西]如图22－1，下列条件中，不能．．证明△ABD≌△ACD的是()A．BD＝DC，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CADC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝DC图22－1[解析]两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．D·新课标第22讲│考点随堂练2．[2011·上海]下列命题中，真命题是()A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等[解析]设两个等腰直角三角形的直角边分别为a和b，那么它们的周长分别为(2＋2)a，(2＋2)b，因为(2＋2)a＝(2＋2)b，则a＝b，两三角形全等．D·新课标第22讲│考点随堂练3．已知，如图22－2，AD＝AC，BD＝BC，O为AB上一点，那么，图中共有_______对全等三角形．图22－2[解析]先证△ABC≌△ABD，由全等三角形对应角相等，得出证明另外两个三角形全等的条件．三·新课标第22讲│考点随堂练4．如图22－3，AB＝CD，AB∥CD，CE＝AF.判断△ABE与△CDF是否全等，并说明理由．图22－3解：△ABE与△CDF全等．理由：∵CE＝AF，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB.在△ABE与△CDF中，AB＝CD，∠DCA＝∠BAC，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．·新课标第22讲│考点随堂练5．[2010·玉溪]如图22－4，在▱ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．图22－4解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF.理由：∵平行四边形ABCD，AE＝ED，又∵DE∥BF，且DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝DF.∴在△ABE与△CDF中，AB＝CD，∠EAB＝∠FCD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF.·新课标第22讲│考点随堂练考点2全等三角形的性质及应用性质全等三角形对应边_______，对应角_______．应用应用全等三角形对应边相等，对应角相等，求角的大小和线段的长度.相等相等·新课标第22讲│考点随堂练6.下列说法中不正确的是()A．全等三角形一定能重合B．全等三角形的面积相等C．全等三角形的周长相等D．周长相等的两个三角形全等[解析]两个三角形周长相等，不一定全等．D·新课标第22讲│考点随堂练7．如图22－5，△BAC≌△DAE，AC＝3cm，AD＝4cm，则BE的长是()图22－5A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm[解析]因为△BAC≌△DAE，所以AC＝AE，AB＝AD，则BE＝4－3＝1(cm)．A·新课标第22讲│考点随堂练8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上(如图22－6所示)，可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是()A．SASB．ASAC．SSSD．AAS图22－6[解析]∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，BC＝DC，根据角边角定理，两三角形全等．B·新课标第22讲│考点随堂练9．如图22－7，AC＝AD，BC＝BD，AB与CD相交于O.则AB与CD的关系是__________．图22－7[解析]先证明△ABC≌△ABD，所以∠CAB＝∠DAB，再利用等腰三角形的性质得出AB⊥CD.AB⊥CD·新课标第22讲│考点随堂练10．如图22－8，已知AD＝BC，AE⊥BD、CF⊥BD于点E、F，且AE＝CF，∠ADB＝30°，则∠DBC＝________°.图22－8[解析]∠AED＝∠CFB＝90°，AD＝BC，AE＝CF，斜边和直角边对应相等的两直角三角形全等，全等三角形对应角相等．30·新课标第22讲│考点随堂练11．如图22－9，小明与小敏玩跷跷板游戏．如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是50cm，当小敏从水平位置CD下降40cm时，小明这时离地面的高度是多少？请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理．图22－9解：根据全等三角形对应边相等，小敏下降40cm则小明上升40cm，所以小明离地面的高度为90cm.·新课标第22讲│考点随堂练12．[2010·宜宾]如图22－10，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F.求证：BF＝CE.图22－10证明：∵CE⊥AF，FB⊥AF，∴∠DEC＝∠DFB＝90°，又∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD,且∠EDC＝∠FDB(对顶角相等)，∴△BFD≌△CED(AAS)，∴BF＝CE.·新课标第22讲│考点随堂练考点3尺规作图·新课标第22讲│考点随堂练13.[2011·绍兴]如图22－11，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为()图22－11A．7B．14C．17D．20[解析]MN是线段AB的垂直平分线，则AD＝BD，△ADC的周长为10，则AC＋BC＝10，所以△ABC的周长为10＋7＝17.C·新课标第22讲│考点随堂练14．[2011·潼南]画△ABC，使其两边为已知线段a、b，夹角为β.(要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法)．图22－12已知：求作：解：已知：线段a、b、角β，求作：△ABC，使边BC＝a，AC＝b，∠C＝β，画图：先画一个角等于∠β，然后从角的顶点出发，在角的两边分别截取长度为a和b的线段．·新课标第22讲│考点随堂练15．[2011·綦江]为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如图22－13)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．图22－13已知：求作：·新课标第22讲│考点随堂练解：已知：A、B、C三点不在同一直线上．求作：一点P，使PA＝PB＝PC.正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P.·新课标第22讲│考点随堂练第22讲│归类示例·新课标归类示例类型之一利用勾股定理求线段的长度命题角度：1．利用勾股定理求线段的长度2．利用勾股定理解决折叠问题[2011·黄石]将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图22－1，则三角板的最大边的长为()D·新课标第22讲│归类示例A．3cmB．6cmC．32cmD．62cm图22－1·新课标第22讲│归类示例[解析]如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6cm，△ABC是等腰直角三角形，AC＝2AB＝62cm.·新课标第22讲│归类示例勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．·新课标第22讲│归类示例类型之二利用勾股定理解决生活中的实际问题命题角度：1．求最短路线问题2．求有关长度问题如图22－2，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点B1到最短路径的距离．·新课标第22讲│归类示例图22－2·新课标第22讲│归类示例解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝42＋＋2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝＋2＋52＝89.l1l2，最短路径的长是l2＝89.(3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝B1C1AC1·AA1＝489·5＝208989为所求．·新课标第22讲│归类示例利用勾股定理求最短路线问题的方法：将起点和终点所在的面展开使之成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．·新课标第22讲│归类示例类型之三勾股定理中的探索性问题命题角度：1．利用勾股定理进行数量的探索2．利用勾股定理进行图形的探索[2010·孝感][问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．·新课标第22讲│归类示例[定理表述]请你根据图22－3中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)；图22－3[解析]先证明Rt△ABE≌Rt△ECD，然后利用等面积法S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，可得a2＋b2＝c2.·新课标第22讲│归类示例[尝试证明]以图22－4①中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图22－4②)，请你利用图②，验证勾股定理；图22－4·新课标第22讲│归类示例解：[定理表述]如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.[尝试证明]∵AB＝EC，BE＝DC，AE＝DE，Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2.整理，得a2＋b2＝c2.·新课标第22讲│归类示例[知识拓展]利用图②中的直角梯形，我们可以证明a＋bc2.其证明步骤如下：∵BC＝a＋b，AD＝________.又∵在直角梯形ABCD中有BC________AD(填大小关系)，即__________，∴a＋bc2.AD＝2ca＋b2c·新课标第23讲│相似三角形及其应用第23讲相似三角形及其应用·新课标第23讲│考点随堂练│考点随堂练│考点1成比例线段成比例线段四条线段a、b、c、d，如果a∶b＝c∶d，那么这四条线段叫做成比例线段，其中d叫做___________项；特别地，如果a∶b＝b∶c，b叫做a、c的_____________．比例的基本性质如果a∶b＝c∶d，那么ad＝____________.平行线分线段成比例一组平行线被两条直线所截，所截得的对应线段_____________.成比例第四比例比例中项bc·新课标第23讲│考点随堂练1.下列各组中的四条线段成比例的是()A．1cm、2cm、20cm、30cmB．1cm、2cm、3cm、4cmC．4cm、2cm、1cm、3cmD．5cm、10cm、10cm、20cm图23－1[解析]因为510